Math�matiques, Brevet des coll�ges M�tropole 2013

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Exercice 1.
Avec un logiciel :
 - on a construit un carr� ABCD, de c�t� 4 cm.
-  on a plac� un point M mobile sur [AB] et construit le carr� MNPQ
- on a repr�sent� l’aire du carr� MNPQ en fonction de la longueur AM.
En utilisant ce graphique r�pondre aux questions suivantes. Aucune justification n’est attendue.

1. D�terminer pour quelle(s) valeur(s) de AM, l’aire de MNPQ est �gale � 10 cm2 .
1 et 3 cm.
2. D�terminer l’aire de MNPQ lorsque AM est �gale � 0,5 cm.
12,5 cm2.
3. Pour quelle valeur de AM l’aire de MNPQ est-elle minimale ? Quelle est alors cette aire ?
AM = 2 cm ; l'aire minimale vat 8 cm2.
.
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Exercice 2.
On a utilis� un tableur pour calculer les images de diff�rentes valeurs de x par une fonction affine f et par une autre fonction g .Une copie de l’�cran obtenu est donn�e ci-dessous.
C2
 f(x)
 =-5*C1+7

A
 B
 C
 D
 E
 F
 G
 H
1
 x
 -3
 -2
 -1
 0
 1
 2
 3
2
 f(x)
 22
 17
 12
 7
 2
 -3
 -8
3
 g(x)
 13
 8
 5
 4
 5
 8
 13
4








1. Quelle est l’image de −3 par f ? 22.
2. Calculer f (7).
f(7) = -5 x7 +7 = -28.
3. Donner l’expression de f (x).
f(x) = -5x+7.
4. On sait que g (x) = x2+4. Une formule a �t� saisie dans la cellule B3 et recopi�e ensuite vers la droite pour compl�ter la plage de cellules C3 :H3. Quelle est cette formule ?
=B1*B1+4




Exercice 3.
Les informations suivantes concernent les salaires des hommes et des femmes d’une m�me entreprise :
Salaires des femmes :
1 200 €; 1 230 €; 1 250 €; 1 310 € : 1 376 €; 1 400 €; 1 440 €; 1 500 €; 1 700 €; 2 100 €
Salaires des hommes :
Effectif total : 20
Moyenne : 1 769 €
�tendue : 2 400 €
M�diane : 2 000 €
Les salaires des hommes sont tous diff�rents.
1. Comparer le salaire moyen des hommes et celui des femmes.
Salaire moyen des femmes ;( 1200 +1230 +1250 +1310 +1376 +1400 +1440 +1500 +1700 +2100 ) / 10 =1450,6 €
2. On tire au sort une personne dans l’entreprise. Quelle est la probabilit� que ce soit une femme ?
10 femmes sur 30 employ�s : 10 / 30 = 1 /3.
3. Le plus bas salaire de l’entreprise est de 1 000 €.Quel salaire est le plus �lev� ?
1000 +2400 = 3400 €.
4. Dans cette entreprise combien de personnes gagnent plus de 2 000 € ?
La moiti� des hommes + une femme soit 11 personnes.
Exercice 4.
Trois figures cod�es sont donn�es ci-dessous. Elles ne sont pas dessin�es en vraie grandeur. Pour chacune d’elles, d�terminer la mesure de l’angle� ABC.

Triangle rectangle de gauche : sin (ABC) = AC / BC = 3 / 6 = 0,5 ; ABC = 30�.
Triangle rectangle inscrit dans un demi-crcle de centre O, de rayon OB : ABC = 90-59 = 31�.
Pentagone r�gulier inscrit dans un cercle :
l'angle au centre AOC, obtu, mesure 360 / 5 x3=3 x 72 �= 216�.
L'angle inscrit ABC intercepte le m�me arc que l'angle au centre AOC. ABC mesure 216 / 2 = 108 �.


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Exercice 5. Pour r�aliser un abri de jardin en parpaing, un bricoleur a besoin de 300 parpaings de dimensions 50 cm� 20 cm� 10 cm pesant chacun 10 kg. Il ach�te les parpaings dans un magasin situ� � 10 km de sa maison. Pour les transporter,il loue au magasin un fourgon.
Information 1 : Caract�ristiques du fourgon :
- 3 places assises.
- Dimensions du volume transportable (L �l �h) : 2,60 m� 1,56 m� 1,84 m.
- Charge pouvant �tre transport�e : 1,7 tonne.
- Volume r�servoir : 80 litres.
-Diesel (consommation : 8 litres aux 100 km).
Information 2 : Tarifs de location du fourgon par jour
30 km maxi : 48 € ; 50 km maxi : 55 € ;100 km maxi : 61 € ; 200 km maxi : 78 € ; km suppl�mentaire 2 €.
Ces prix comprennent le kilom�trage indiqu� hors carburant
 Un litre de carburant co�te 1,50 €.
1. Expliquer pourquoi il devra effectuer deux aller-retour pour transporter les 300 parpaings jusqu’� sa maison.
Masse totale des parpaings : 300 x10 = 3000 kg  = 3 t.
La charge maximale transport�e est 1,7 t.
Il peut mettre 5 parpaings dans la longueur et 15 dans la largeur soit 75 par rang�e ; il peut r�aliser 9 rang�es ; le volume du fourgon permettrait de ranger 75 x9 = 675 parpaings. Ce n'est pas le volume qui limite, mais bien la charge maximale transport�e.
2. Quel sera le co�t total du transport ?
Distance parcourue : 2 x(10+10)= 40 km ; co�t de la location : 55 €.
Consommation : 8 x40 / 100 = 3,2 L ; co�t 3,2 x1,5 = 4,8 €.
Total : 59,8 €.
3. Les tarifs de location du fourgon sont-ils proportionnels � la distance maximale autoris�e par jour ?
Non : 48 / 30 diff�re de 55 / 50 diff�re de 61 / 100....

Exercice 6.
Dans les marais salants, le sel r�colt� est stock� sur une surface plane. On admet qu’un tas de sel a toujours la forme d’un c�ne de r�volution.
1. a. Pascal souhaite d�terminer la hauteur d’un c�ne de sel de diam�tre 5 m�tres. Il poss�de un b�ton de longueur 1 m�tre. Il effectue des mesures et r�alise les deux sch�mas ci-dessous :
D�montrer que la hauteur de ce c�ne de sel est �gale � 2,50 m�tres.

b. � l’aide de la formule Vc�ne =aire de base x hauteur / 3 , d�terminer en m3 le volume de sel contenu dans ce c�ne. Arrondir le r�sultat au m3 pr�s.
Vc�ne = 3,14 x2,52 x 2,5 / 3 = 16,36 ~16 m3.
2. Le sel est ensuite stock� dans un entrep�t sous la forme de c�nes de volume 1 000 m3. Par mesure de s�curit�, la hauteur d’un tel c�ne de sel ne doit pas d�passer 6 m�tres. Quel rayon faut-il pr�voir au minimum pour la base ? Arrondir le r�sultat au d�cim�tre pr�s.
Aire de base  = Vc�ne x3 / hauteur = 3000 / 6 = 500 m2.
500 = 3,14 R2 ; R = racine carr�e ( 500 / 3,14) = 12,6 m.


Exercice 7.
Chacune des trois affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? On rappelle que
les r�ponses doivent �tre justifi�es.
Affirmation 1 : Dans un club sportif les trois quarts des adh�rents sont mineurs et le tiers des adh�rents majeurs a plus de 25 ans. Un adh�rent sur six a donc entre 18 ans et 25 ans.
On note x le nombre d'adh�rents : 0,75 x sont mineurs et 0,25 x sont majeurs.
0,25 x / 3 ont plus de 25 ans et 2 x0,25 / 3 x = x / 6 ont entre 18 et 25 ans. l'affirmation est vraie.
Affirmation 2 : Durant les soldes si on baisse le prix d’un article de 30% puis de 20%, au final le prix de l’article a baiss� de 50%. Faux.
Pour un article de 1 €, prix  apr�s la premi�re baisse : 0,7 € ; prix apr�s la seconde baisse : 0,7 x (1-0,2) =0,56 ( 56 %).
Affirmation 3 : Pour n’importe quel nombre entier n, (n +1)2 −(n −1)2 est un multiple de 4. Vrai.
Diff�rence de  deux carr�s : (n+1 +n-1)(n+1-n+1) = 2 n x 2 = 4 n.
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