Math�matiques,
Brevet des coll�ges Polyn�sie 2013
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Exercice 1. QCM.
1. (15 - 9 x10-3)
/ (5 x102) =14,991x 10-2 / 5 = 2,9982 10-2
= 29,982 10-3 ; r�ponse B.
2. Combien faut-il
de temps pour parcourir 800 m � la vitesse moyenne de 40 km/h ?
Temps ( heure)=distance ( km ) / vitesse ( km /h) = 0,800 / 40 = 0,02
heure ou 0,02 x60 = 1,2 min ou 1 min 12 s. R�ponse A.
3. Si on triple
l’ar�te d’un cube alors par combien est multipli� le volume du cube ?
V = a3 ; V' = (3a)3 = 27 a3 = 27 V.
R�ponse C.
4. Quelle est
l’expression factoris�e de 25x2−16 ?
(5x)2-42 = (5x-4) (5x+4). R�ponse C.
Exercice 2.
1. Calcule PGCD(405
; 315). Pr�cise la m�thode utilis�e et indique les calculs.
Algorithme d'Euclide : 405 = 315 +90 ; 315 = 3 x90 + 45 ; 90 = 2 x45.
Autre m�thode :: 405 =34 x5 ; 315 =32 x5 x7.
le PGCD de 405 et 315 est 45.
2. Dans les bassins
d’eau de mer filtr�e d’une ferme aquacole de b�nitiers destin�s �
l’aquariophilie, on compte 9 bacs contenant chacun 35 b�nitiers de 12,5
cm et 15 bacs contenant chacun 27 b�nitiers de 17,5 cm. L’exploitant
souhaite r�partir la totalit� des b�nitiers en des lots de m�me
composition :
Par lot, m�me nombre de b�nitiers de 12,5 cm et m�me nombre de
b�nitiers de 17,5 cm.
a. Quel est le plus
grand nombre de lots qu’il pourra r�aliser ? Justifie ta r�ponse.
9 x35=315 b�nitiers de 12,5 cm et 15 x27 = 405 b�nitiers de 17,5 cm.
PGCD(405 ; 315) = 45. Il peut r�aliser 45
lots.
b. Quelle sera la
composition de chaque lot ?405 / 45 = 9 b�n�itiers de 17,5 cm.
315 / 45 = 7 b�nitiers de 12,5 cm.
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Exercice 3.
Dans
l’Oc�an Pacifique Nord, des d�chets plastiques qui flottent se sont
accumul�s pour constituer une poubelle g�ante qui est, aujourd’hui,
grande comme 6 fois la France.
1. Sachant que la
superficie de la France est environ 550 000 km2, quelle est
la superficie actuelle de cette poubelle g�ante ?
6 x550 000 = 3 300 000 km2.
2. Sachant que la
superficie de cette poubelle g�ante augmente chaque ann�e de 10 %,
quelle sera sa superficie dans un an ?
3 300 000 x1,1 = 3 630 000 km2.
3. Que penses-tu
de l’affirmation � dans 4 ans, la superficie de cette poubelle aura
doubl� � ? Justifie ta r�ponse.
Superficie de la poubelle dans 4 ans :
3 300 000 x1,14 = 1,464 x 3 300 000 km2.
La superficie aura �t� multipli�e par
1,464 et non pas par 2.
Exercice 4.
1. Construis un
triangle ABC rectangle en C tel que AB = 10 cm et AC = 8 cm.
2. Calcule la
longueur BC (en justifiant pr�cis�ment).
AB2 =AC2 + BC2 ; BC2 = AB2 -AC2 = 102 -82 = 36 ; BC = 6 cm.
3. a. Place le point M de
l’hypot�nuse [AB] tel que AM= 2 cm.
b. Trace la
perpendiculaire � [AC] passant par M. Elle coupe [AC] en E.
c. Trace la
perpendiculaire � [BC] passant par M. Elle coupe [BC] en F.
d. � l’aide des
donn�es de l’exercice, recopie sur ta copie la proposition que l’on
peut directement utiliser pour prouver que le quadrilat�re MFCE est un
rectangle.
Proposition 1
: Si un quadrilat�re a 4 angles droits alors c’est un rectangle.
Proposition 2
: Si un quadrilat�re est un rectangle alors ses diagonales ont la m�me
longueur.
Proposition 3
: Si un quadrilat�re a 3 angles
droits alors c’est un rectangle.
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Exercice 5.
Pour cet exercice, on
utilise uniquement la courbe donn�e ci-dessous qui repr�sente une
fonction f .
En laissant appara�tre les trac�s utiles sur le graphique ci-dessous :
1. Donne une valeur
approch�e de f (2).
2. Donne l’(ou les)
ant�c�dent(s) de 5 par la fonction f .
3. Place, sur la
courbe de la fonction f un point S qui te semble avoir la plus petite
ordonn�e.
4. Par lecture
graphique, donne des valeurs approch�es des coordonn�es de ton point S.
S( 6,3 ; 4,8).
Exercice 6.
Sur
un parking, une commune veut regrouper 6 conteneurs � d�chets du m�me
mod�le A ou B. Les deux mod�les sont fabriqu�s dans le m�me mat�riau
qui a partout la m�me �paisseur.
- l e conteneur A est un pav� droit � base carr�e de c�t� 1 m, et de
hauteur 2 m
- le conteneur B est constitu� de deux demi-sph�res de rayon 0,58 m et
d’un cylindre de m�me rayon et de hauteur 1,15 m
1. a. V�rifie que
les 2 conteneurs ont pratiquement le m�me volume.
VA = Aire base carr�e x hauteur = 12 x2 = 2 m3.
VB = volume du cylindre + volume de la sph�re.
VB =aire de base x hauteur + 4 / 3 p R3 = p R2 H + 4 / 3 p R3 = p R2 ( H + 4 / 3
R = 3,14 x0,582 (1,15 +4 / 3 x0,58) ~2,03 m3.
b. Quels peuvent
�tre les avantages du conteneur A ?
Plus stable, plus facile � fabriquer, plus facile � nettoyer.
2. On souhaite
savoir quel est le conteneur le plus �conomique � fabriquer.
a. Calcule l’aire
totale des 6 faces du conteneur A.
2 aire base carr�e + 4 aire d'une face = 2 +4 x1 x 2 = 10 m2.
b. V�rifie que,
pour le conteneur B, l’aire totale, arrondie � 0,1 m2 pr�s,
est 8,4 m2.
Aire lat�rale du cylindre + aire de la sph�re = 2pR x H + 4 pR2 = 2pR( H +2R) =2
x3,14x0,58(1,15 +2x0,58) ~8,4 m2.
c. Quel est le
conteneur le plus �conomique � fabriquer ? Justifie ta r�ponse.
Le conteneur B n�cessite moins de mati�re. ( m�me mat�riau et m�me
�paisseur).
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Exercice 7. Calcule la hauteur du
cocotier.
Exercice 8.
Soit
l’exp�rience al�atoire suivante :
- tirer au hasard une boule noire, noter son num�ro ;
- tirer au hasard une boule blanche, noter son num�ro ;
- puis calculer la somme des 2 num�ros tir�s.
1. On a simul�
l’exp�rience avec un tableur, en utilisant la fonction ALEA() pour
obtenir les num�ros des boules tir�es au hasard.
Voici les r�sultats des premi�res exp�riences :
|
A
|
B
|
C
|
D
|
1
|
Exp�riennce
|
Num�ro
de la boule noire
|
Num�ro
de la boule blanche
|
Somme
|
2
|
n�1
|
4
|
2
|
6
|
3
|
n�2
|
1
|
2
|
3
|
4
|
n�3
|
2
|
3
|
5
|
5
|
n�4
|
3
|
3
|
6
|
6
|
n�5
|
3
|
5
|
8
|
7
|
n�6
|
4
|
3
|
7
|
a. D�cris
l’exp�rience n� 3.
La boule noire tir�e porte le num�ro 2 ; la boule balanche tir�e porte
le num�ro3 ; la somme vaut 5.
b. Parmi les 4
formules suivantes, recopie sur ta feuille celle qui est �crite dans la
case D5 :
2⋆A4 ; =B4+C4 ; = B5+C5
vrai
; = SOMME(D5)
c. Peut-on obtenir
la somme 2 ? Justifie.
Non : le plus petit num�ro d'une boule noire est �gal � 2 et le plus
petit num�ro d'une boule blanche est �gal � 1.
d. Quels sont les
tirages possibles qui permettent d’obtenir la somme 4 ? Quelle est la
plus grande somme possible ? Justifie.
1 (blanc )+3 ( noire) et 2 (
blanc) +2 (noire).
La plus grande somme possible est 4 ( blanc) + 5 (noire) = 9.
2. Sur une seconde
feuille de calcul, on a copi� les r�sultats obtenus avec 50
exp�riences, avec 1 000 exp�riences, avec 5 000 exp�riences et on a
calcul� les
fr�quences des diff�rentes sommes.
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
G
|
H
|
I
|
1
|
Somme
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
Effectif
total
|
2
|
Effectif
|
5
|
10
|
9
|
8
|
8
|
8
|
2
|
50
|
3
|
Fr�quence
|
0,1
|
0,2
|
0,18
|
0,16
|
0,16
|
0,16
|
|
|
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
Somme
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
Effectif
total
|
6
|
Effectif
|
79
|
161
|
167
|
261
|
166
|
72
|
94
|
1000
|
7
|
Fr�quence
|
0,079
|
0,161
|
0,167
|
0,261
|
0,166
|
0,072
|
0,094
|
|
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
|
Somme
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
Effectif
total
|
10
|
Effectif
|
405
|
844
|
851
|
1221
|
871
|
410
|
398
|
5000
|
11
|
Fr�quence
|
0,081
|
0,1688
|
0,1702
|
0,2442
|
|
0,1742
|
0,082
|
0,0796
|
a. Quelle est la
fr�quence de la somme 9 au cours des 50 premi�res exp�riences ?
Justifie.
2 / 50 = 0,04.
b. Quelle formule
a-t-on �crite dans la case B7 pour obtenir la fr�quence de la somme 3 ?
=B6/1000 ou = B6/$I6
c. Donne une
estimation de la probabilit� d’obtenir la somme 3.
0,081 ; un tirage favorable sur 12 tirages possibles ; 1/12=0,083.
.
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