Math�matiques, Brevet des coll�ges Am�rique du Sud 2013

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Exercice 1.
Le salaire moyen brut des Fran�ais s’�tablissait en 2010 � 2 764 € par mois.
La population fran�aise est estim�e en 2010 � 65 millions d’habitants.
Encore un peu moins d’argent dans le porte-monnaie des Fran�ais en 2010. Le salaire m�dian brut est celui qui partage la population en deux parties �gales, la moiti� qui gagne plus, l’autre moiti� qui gagne moins ; il est �gal � 1 610 € par mois.
Le niveau de vie des fran�ais a baiss� par rapport � 2009.
D’ailleurs, le taux de pauvret� enregistr� en cette ann�e 2010 est le plus haut jamais observ� depuis 1997. Il concerne 8,6 millions de Fran�ais qui vivent donc en dessous du seuil de pauvret� �valu� � 964 ( par mois. �
1. En France, le salaire que touche effectivement un employ� est �gal au salaire brut, diminu� de 22% et est appel� le salaire net. Montrer que le salaire net moyen que percevait un fran�ais en 2010 �tait de 2 155,92 €.
2764 x(1-0,22) = 2 155,92 €.
2. Expliquer � quoi correspond le salaire m�dian brut.
La moiti� des travailleurs gagnent plus de 1610 € brut par mois.
La moiti� des travailleurs gagnent moins de 1610 € brut par mois.
3. Comparer le salaire m�dian brut et le salaire moyen brut des Fran�ais. Comment peut-on expliquer cette diff�rence ?
Le salaire m�dian brut est inf�rieur au salaire moyen brut. Le nombre de personnes qui gagne moins de 2 155,92 € est bien sup�rieurau nombre de personnes qui gagnent plus de 2 155,92 €.
4. Calculer le pourcentage de fran�ais qui vivaient en 2010 sous le seuil de pauvret�.
On arrondira le r�sultat � l’unit�.
8,6 x100 / 65 ~13 %.
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Exercice 2.
Jean-Michel est propri�taire d’un champ, repr�sent� par le triangle ABC ci-dessous.
Il ach�te � son voisin le champ adjacent, repr�sent� par le triangle ADC. On obtient ainsi un nouveau champ form� par le quadrilat�re ABCD.
Jean Michel sait que le p�rim�tre de son champ ABC est de 154 m�tres et que BC = 56 m.
Son voisin l’informe que le p�rim�tre du champ ADC est de 144 m�tres et que AC = 65 m.
De plus, il sait que AD = 16 m.

1. a. Justifier que les longueurs AB et DC sont respectivement �gales � 33 m et 63 m.
AB +BC +AC = 154 m ; AB = 154 -BC-AC = 154-56-65=33 m.
CD +AD +AC = 144 ; CD = 144 -AD-AC = 144-16-65 = 63 m.
b. Calculer le p�rim�tre du champ ABCD.
AB +BC +Cd +AD = 33 +56 +63 +16 = 168 m.
2. D�montrer que le triangle ADC est rectangle en D.
AD2 +CD2 =162 +632 = 4225 ; AC2 = 652 = 4225.
D'apr�s la r�ciproque du th�or�me de Pythagore, le triangle ADC est rectangle en D.
On admet que le triangle ABC est rectangle en B.
3. Calculer l’aire du champ ABCD.
AD xCD / 2 + AB x BC / 2 = 16 x 63 / 2 +33 x 56 / 2 = 504 +924 =1428 m2.
4. Jean-Michel veut cl�turer son champ avec du grillage. Il se rend chez son commer�ant habituel et tombe sur l’annonce suivante : Grillage : 0,85 € par m�tre
Combien va-t-il payer pour cl�turer son champ ?
168 x 0,85 =142,8 €.
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Exercice 3.
Un p�tissier a pr�par� 840 financiers et 1 176 macarons. Il souhaite faire des lots, tous identiques, en m�langeant financiers et macarons. Il veut utiliser tous les financiers et tous les macarons.
1. a. Sans faire de calcul, expliquer pourquoi les nombres 840 et 1 176 ne sont pas premiers entre eux.
Ces nombres sont pairs, ils admettent 2 comme diviseurs communs, en plus du nombre 1..
Des nombres premiers entre eux ont un seul diviseur commun, le nombre 1.
840 et 1176 ne sont pas premiers entre eux.
b. Le p�tissier peut-il faire 21 lots ? Si oui, calculer le nombre de financiers et le nombre de macarons dans chaque lot.
1176 / 21 =56 ; 840 / 21 = 40.
21 est un diviseur commun � 840 et 1176. Il peut r�aliser 21 lots contenant chacun 40 financiers et 56 macarons.
c. Quel est le nombre maximum de lots qu’il peut faire ? Quelle sera alors la composition de chacun des lots ?
Algorithme d'Euclide : 1176 = 840 +336.
840 = 2 x336 + 168.
336 =2 x168.
Le PGCD(1176 ; 840) est �gal � 168.
 Il peut r�aliser 168 lots contenant chacun 840 / 168 = 5 financiers et 1176 / 168= 7  macarons.
2. Cette ann�e, chaque lot de 5 financiers et 7 macarons est vendu 22,40 €.
L’ann�e derni�re, les lots, compos�s de 8 financiers et de 14 macarons �taient
vendus 42 €.
Sachant qu’aucun prix n’a chang� entre les deux ann�es, calculer le prix d’un financier et d’un macaron.
On appelle x le prix d'un financier et y celui d'un macaron :
5x+7y =22,4 ; 8x +14y = 42.
10x +14y =44,8 ; 8x +14y = 42.
Soustraire : 2x =2,8 ; x = 1,4.
Par suite y = (22,4-5 x1,4) / 7 =2,2.
Exercice 4.
Le fleuve Amazone est celui qui poss�de le d�bit moyen le plus important au monde.
Il est d’environ 190 000 m3/s.
En France, un foyer de 3 personnes consomme en moyenne 10 000 L d’eau par mois.
Donner un ordre de grandeur du nombre de ces foyers que pourrait alimenter ce fleuve en un an.
Rappel : 1 L = 1 dm3 et 1m3 = 1 000 L.
Un foyer : 10 000 L = 10 m3 par mois soit 10 x12 = 120 m3 par an.
Amazone : 190 000 x3600 x24 x365 ~5,99 1012 m3 par an.
5,99 1012  /120 ~ 5 1010 foyers.










Exercice 5.
  Un jeu est constitu� des dix �tiquettes suivantes toutes identiques au toucher qui sont m�lang�es dans un sac totalement opaque.
Deux angles droits seulement  ;  Quatre angles droits
C�t�s �gaux deux � deux ;  Deux c�t�s �gaux seulement
Quatre c�t�s �gaux  ; C�t�s oppos�s parall�les
Deux c�t�s parall�les seulement  ; Diagonales �gales
Diagonales qui se coupent en leur milieu ; Diagonales perpendiculaires.
D’apr�s � G�om�trie � l’Ecole �de Fran�ois Boule. Savoir dire et savoir-faire, IREMde Bourgogne.
1. On choisit au hasard une �tiquette parmi les dix.
a. Quelle est la probabilit� de tirer l’�tiquette �Diagonales �gales � ?1 / 10 = 0,1.
b. Quelle est la probabilit� de tirer une �tiquette sur laquelle est inscrit le
mot � diagonales � ? 3 / 10 = 0,3.
c. Quelle est la probabilit� de tirer une �tiquette qui porte � la fois le mot � c�t�s �et le mot � diagonales � ? 0.
2. On choisit cette fois au hasard deux �tiquettes parmi les dix et on doit essayer de dessiner un quadrilat�re qui a ces deux propri�t�s.
a. Madjid tire les deux �tiquettes suivantes : Diagonales perpendiculaires Diagonales �gales
Julie affirme que la figure obtenue est toujours un carr�. Madjid a des doutes. Qui a raison ? Justifier la r�ponse.
Les diagonales se coupent en leur milieu. Chaque diagonale est donc m�diatrices l'une de l'autre : le quadrilat�re est un losange.
Les diagonales sont �gales : le quadrilat�re e st un carr�. Julie a raison.
b. Julie tire les deux �tiquettes suivantes :
C�t�s oppos�s parall�les Quatre c�t�s �gaux. Quel type de figure Julie est-elle s�re d’obtenir ?
C�t�s parall�les : le quadrilat�re est un parall�logramme.
 Quatres c�t�s �gaux : le quadrilat�re est un losange.
3. Lionel tire les deux �tiquettes suivantes :
Deux c�t�s �gaux seulement Quatre angles droits. Lionel est d��u. Expliquer pourquoi.
Quatre angles droits : le quadrilat�re est un rectangle ou un carr�.
Deux c�t�s �gaux seulement : c'est incompatible avec un rectangle ou un carr�.

 Exercice 6.
Dans cet exercice, on consid�re le rectangle ABCD  tel que son p�rim�tre soit �gal � 31 cm.
1. a. Si un tel rectangle a pour longueur 10 cm, quelle est sa largeur ?
 2( longueur +largeur) = 31 ; largeur = 31 / 2 -10 = 5,5 cm.
b. Proposer une autre longueur et trouver la largeur correspondante.
Longueur =12 cm ; largeur = (31-24) / 2 = 3,5 cm.
c. On appelle x la longueur AB.
En utilisant le fait que le p�rim�tre de ABCD est de 31 cm, exprimer la largeur BC en fonction de x.
Largeur = 31 / 2 -x = 15,5 -x.
d. En d�duire l’aire du rectangle ABCD en fonction de x.
Largeur fois longueur = x(15,5-x).
2. On consid�re la fonction f d�finie par f (x) = x(15,5−x).
a. Calculer f (4).
f(4) = 4(15,5-4) = 46 cm2.
b. V�rifiez qu’un ant�c�dent de 52,5 est 5.
5(15,5-5) =52,5.
3. Sur le graphique ci-dessous, on a repr�sent� l’aire du rectangle ABCD en fonction de la valeur de x.

� l’aide de ce graphique, r�pondre aux questions suivantes en donnant des valeurs approch�es :
a. Quelle est l’aire du rectangle ABCD lorsque x vaut 3 cm ? 37,5 cm2.
b. Pour quelles valeurs de x obtient-on une aire �gale � 40 cm2 ?
3,3 et  12,3 cm.
c. Quelle est l’aire maximale de ce rectangle ? Pour quelle valeur de x est-elle obtenue ?
60 cm2 ; x = 8 cm.
4. Que peut-on dire du rectangle ABCD lorsque AB vaut 7,75 cm ?
ABCD est un carr�.



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