Math�matiques, Brevet des coll�ges Pondich�ry 2014

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Exercice 1. 
Emma et Arthur ont achet� pour leur mariage 3 003 drag�es au chocolat et 3 731 drag�es aux amandes.
1. Arthur propose de r�partir ces drag�es de fa�on identique dans 20 corbeilles. Chaque corbeille doit avoir la m�me composition. Combien lui reste-t-il de drag�es non utilis�es ?
3000 et 3720 sont des multiples de 20. Il restera 3 drag�es au chocolat et 11 drag�es aux amandes. Chaque corbeille compte 3000 / 20 = 150 dragh�es au chocolat et 3720 / 20 =186 drag�es aux amandes.
2. Emma et Arthur changent d’avis et d�cident de proposer des petits ballotins dont la composition est identique. Ils souhaitent qu’il ne leur reste pas de drag�es.
a. Emma propose d’en faire 90. Ceci convient-il ? Justifier.
3003 = 90 x33  + 33 ; 3731 =41 x90 +41.
Cela ne convient pas, il reste 33 drag�es au chocolat et 41 drag�es aux amandes.
b. Ils se mettent d’accord pour faire un maximum de ballotins. Combien en feront-ils et quelle sera leur composition ?
3003 = 3 x7 x11 x 13 ; 3731 = 7 x13 x 41.
Le PGCD de 3003 et 3731 est 7 x13 = 91. Ils feront 91 ballotins contenant chacun 3003/91 = 33 drag�es au chocolat et 3731 / 91 = 41 drag�es aux amandes.
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Exercice 2. QCM

A
 B
 C
racine carr�e ( (-5)2) n'existe pas
 est �gale � -5
 est �gale � 5
Si deux surfaces ont la m�me aire
 elles sont superposables
 elles ont le m�me p�rim�tre
 leurs p�rim�tres ne sont pas forc�ment �gaux.
f(x) = 3x-(2x+7)+(3x+5)
 f est affine
3x-2x-7+3x+5
=4x-2
 f est lin�aire
 f n'est pas affine
Hicham a r�cup�r� les r�sultats d'une enqu�te sur les n� sortis ces derni�res ann�es au loto. Il souhaite jouer lors du prochain tirage.
 il vaut mieux jouer les n� qui sont souvent sortis
 il vaut mieux jouer les num�ros qui ne sont pas sortis
 l'enqu�te ne peut pas l'aider.
Une expression factoris�e de
(x-1)2-16 est
 (x+3)(x-5)
(x-1+4)(x-1-4)
 (x-4)(x+4)
 x2-2x-15

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Exercice 3.
� Je prends un nombre entier. Je lui ajoute 3 et je multiplie le r�sultat par 7. J’ajoute le
triple du nombre de d�part au r�sultat et j’enl�ve 21. J’obtiens toujours un multiple de 10. �
Est-ce vrai ? Justifier.
Le nombre de d�part est not� n.
n+3
(n+3) x7
(n+3) x7+3n
(n+3) x7 +3n-21
7n +21 +3n-21 = 10n, multiple de 10.
Exercice 4.
Une commune souhaite am�nager des parcours de sant� sur son territoire. On fait deux propositions au conseil municipal, sch�matis�es ci-dessous :
• le parcours ACDA
• le parcours AEFA
Ils souhaitent faire un parcours dont la longueur s’approche le plus possible de 4 km.
Peux-tu les aider � choisir le parcours ? Justifie.
La figure ci-dessous n'est pas � l'�chelle.

Parcours ACDA : 1,4 +1,05+1,75 =4,2 km.
Parcours AEFA : 1,3 +1,04 +1,6 = 3,94 km. Ce parcours est choisi.


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Exercice 5.
Pense-b�te : toutes les formules donn�es ci-dessous correspondent bien � des formules d’aires ou de volumes. On ne sait pas � quoi elles correspondent, mais elles peuvent quandm�me �tre utiles pour r�soudre l’exercice ci-dessous.
aire de base x hauteur / 3 ; pr2 ; 4 / 3 pr3 ; aire de base x hauteur.
Voici une bouteille constitu�e d’un cylindre et d’un tronc de c�ne surmont� par un goulot cylindrique. La bouteille est pleine lorsqu’elle est remplie jusqu’au goulot.

1. Calculer le volume exact de la partie cylindrique de la bouteille puis en donner un arrondi au cm3.
aire de base x hauteur = p r2 h = p 52x15 = 375 p ~1178 cm3.
2. Pour obtenir le tronc de c�ne, on a coup� un c�ne par un plan parall�le � la base passant par O′. La hauteur SO du grand c�ne est de 6 cm et la hauteur SO’ du petit est �gale � 2 cm. Le rayon de la base du grand c�ne est de 5 cm.
a. Calculer le volume V1 du grand c�ne de hauteur SO (donner la valeur exacte).
aire de base x hauteur /3= p r2 h /3 = 3,14x 52x 6 / 3 = 50 p cm3.
b. Montrer que le volume V2 du tronc de c�ne est �gal � 1300 p / 27 cm3. En donner une valeur arrondie au cm3.
Les dimensions du petit c�ne sont celles du grand c�ne divis�es par 3. Le volume du petit c�ne est �gal � celui du grand c�ne divis� par 33 =27.
Volume du tronc de c�ne : V1-V2 avec V2 = V1 / 27 ; V1-V2 = 26 V1 / 27 = 26 x50 p / 27 = 1300 p / 27 ~151 cm3.
3. Parmi les quatre graphiques ci-dessous, l’un d’entre eux repr�sente le volume V (h) de la bouteille en fonction de la hauteur h de remplissage du bidon. Quel est ce graphique ? Pourquoi les autres ne sont-ils pas convenables ?

A convient.
B ne convient pas : d�croissance du volume apr�s h = 15 cm.
C ne convient pas : croissance trop rapide du volume apr�s h = 15 cm.
D ne convient pas : le volume 1500 pour h = 15 ccm, ne correpond pas aux calculs pr�c�dents


Exercice 6.
Voici le classement desm�dailles d’or re�ues par les pays participant aux jeux olympiques pour le cyclisme masculin.

A
 B
 C
 D
 E
 F
 G
 H
 I
 J
 K
 L
 M
 N
 O
1
 Nombre
 m�daille d'or
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 11
 13
 14
 15
 18
 32
 40
2
 Effectif
 8
 2
 2
 2
 1
 3
 1
 2
 1
 1
 1
 1
 1
 26
Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule O2 pour obtenir le nombre total de pays ayant eu une m�daille d’or ?
=SOMME(B1:N1) ( on trouve  164).
2. a. Calculer la moyenne de cette s�rie (arrondir � l’unit�).
(1*8 +2*2 +3*2 +4*2 +5 +6*3 +11 +13*2 +14+15+18+32+40) / 26 ~8.
b. D�terminer la m�diane de cette s�rie.
L'effectif tootal �tant de 26, la m�diane est la moyenne de la 13e et de la 14e valeur de la s�rie soit 4.
c. En observant les valeurs prises par la s�rie, donner un argument qui explique pourquoi les valeurs de la moyenne et de la m�diane sont diff�rentes.
Les valeurs de la s�rie sont tr�s dispers�es. Un grand nombre de pays obtient peu de m�dailles et un tr�s petit nombre en obtient beaucoup.
3. Pour le cyclisme masculin, 70% des pays m�daill�s ont obtenu au moins une m�daille d’or. Quel est le nombre de pays qui n’ont obtenu que des m�dailles
d’argent ou de bronze (arrondir le r�sultat � l’unit�) ?
Nombre de pays m�daill�s or : 26 ; nombre total de pays m�daill�s : 26 / 0,70 ~ 37.
Nombre de pays m�daill�s argent ou bronze : 37-26 = 11.


  

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