Math�matiques, Brevet des coll�ges Am�rique du nord 2014

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Exercice 1.  QCM
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Exercice 2. QCM
Pour amortir les chocs contre les autres embarcations ou le quai, les p�niches sont �quip�es de � boudins � de protection. Calculer le volume exact en cm3 du �boudin�de protection ci-dessous, puis arrondir au centi�me.

Volume du cylindre  : pr2h = p 82 x50 =3200 p cm3.
Volume de la sph�re : 4 / 3 pr3 =4 / 3 p 83 =2048 / 3 p cm3.
Total : (3200 x3 +2048) / 3 p=11648 / 3 p~12 197,76 cm3.




Exercice 3.
1. La longueur du Canal du Midi est de 240 km de Toulouse � l’�tang de Thau et la vitesse des embarcations y est limit�e � 8 km/h. Combien de temps, au moins, faut-il pour effectuer ce trajet en p�niche sans faire de pause ?
240 / 8 = 30 heures.
2. On assimilera une �cluse � un pav� droit de 8,4 m de large, de 30 m de long et de 3m de hauteur.
Calculer le volume de cette �cluse.
8,4 x30 x3 =756 m3.
3. Le prix hebdomadaire de la location d’un bateau � moteur d�pend de la p�riode.
Il est de 882 € du 01/01/2014 au 28/04/2014.
Il augmente de 27% pour la p�riode du 29/04/2014 au 12/05/2014.
Calculer le prix de la location pour cette p�riode.
882 x1,27 =1120,14 €.
Exercice 4.
Durant un parcours sur le Canal du Midi partant de l’�cluse de Renneville jusqu’� l’�cluse de Gay, on a relev� les hauteurs de chaque �cluse franchie depuis le d�part dans une feuille de calcul.
Les hauteurs franchies de mani�re ascendante sont not�es positivement, celles de mani�re descendante n�gativement.

A
 B
 C
 D
 E
 F
 G
 H
 I
 J
 K
 L
 M
1
 �cluse
 Renneville
 Encasan
 Embrel
 Bord
 M�diteran�e
 Roc
 Laurens
 Domergue
 Planque
 St Roch
 Gay
2












3
 hauteur (m)
 2,44
 4,85
 3,08
 2,62
 -2,58
 -5,58
 -6,78
 -2,24
 -2,63
 -9,42
 -5,23
1. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule M3 pour obtenir la valeur du d�nivel� du parcours ?
=SOMME(B3:L3)
2. Quelle est la valeur du d�nivel� du parcours ?
2,44 +4,85 +3,08 +2,62 -2,58 -5,58 -6,78 -2,24 -2,63 -9,42 -5,23= -21,47 m.
3. Le parcours est-il, globalement, ascendant ou descendant ?
De Renneville � Bord, le parcours est ascendant, puis descendant par la suite.
Le d�nivell� �tant n�gatif, le parcours est globalement descendant.


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Exercice 5.
Pour une bonne partie de p�che au bord du canal, il faut un si�ge pliant adapt� ! Nicolas est de taille moyenne et pour �tre bien assis, il est n�cessaire que la hauteur de l’assise du si�ge soit comprise entre 44 cm et 46 cm. La hauteur de ce si�ge lui est-elle adapt�e ?

H2 = AE2 -AC2 = 562 -342 =1980  ; H = 44,5 cm, valeur comprise entre 44 et 46 cm. Le si�ge est bien  adapt�.

Exercice 6.
Pendant le remplissage d’une �cluse, Jules et Paul, � bord de leur p�niche, patientent en jouant aux d�s. Ces d�s sont �quilibr�s.
1. Est-ce que, lors du jet d’un d�, la probabilit� d’obtenir un � 1 � est la m�me que celle d’obtenir un � 5 � ? Expliquer.
Oui, la probabilit� d'obtenir 1 est �gale � celle d'obtenir 5, c'est � dire 1 /6, si le d� n'est pas truqu�.
2. Jules lance en m�me temps un d� rouge et un d� jaune. Par exemple il peut obtenir 3 au d� rouge et 4 au d� jaune, c’est l’une des issues possibles. Expliquer pourquoi le nombre d’issues possibles quand il lance ses deux d�s est de 36.
Chaque d� comporte 6 faces. Lors du lancer de deux d�s, il y a 6 x6 = 36 issues possibles.
Jules propose � Paul de jouer avec ces deux d�s (un jaune et un rouge), Il lui explique la r�gle :
- Le gagnant est le premier � remporter un total de 1000 points.
- Si, lors d’un lancer, un joueur fait deux � 1 �, c’est-�-dire une paire* de � 1 �, il remporte 1 000 points (et donc la partie).
- Si un joueur obtient une paire de 2, il obtient 100 fois la valeur du 2, soit 2�100 = 200 points.
- De m�me, si un joueur obtient une paire de 3 ou de 4 ou de 5 ou 6, il obtient 100 fois la valeur du d� soit 3�100 = 300, ou . . .
- Si un joueur obtient un r�sultat autre qu’une paire (exemple 3 sur le d� jaune et 5 sur le d� rouge), il obtient 50 points.
* On appelle une paire de 1 quand on obtient deux 1, une paire de 2 quand on obtient deux 2 . . .
3. Paul a d�j� fait 2 lancers et a obtenu 650 points.
Quelle est la probabilit� qu’il gagne la partie � son troisi�me lancer ?
Il doit marquer au moins 350 points.
Soit une paire de 1, une paire de  4, une paire de 5 ou une paire de 6.
Probabilit� d'obtenir une paire de chiffres ; 1 / 36.
Probabilit� de gagner : 1 /36 +1/36 +1/36 +1/36= 4 /36 = 1/9.


Exercice 7.
On �tudie plus pr�cis�ment le remplissage d’une �cluse pour faire passer une p�niche de l’amont vers l’aval.
Principe : Il s’agit de faire monter le niveau de l’eau dans l’�cluse jusqu’au niveau du canal en amont afin que l’on puisse ensuite faire passer la p�niche dans l’�cluse.
Ensuite, l’�cluse se vide et le niveau descend � celui du canal en aval. La p�niche peut sortir de l’�cluse et poursuivre dans le canal en aval.
h = 4,3 m ; x = 1,8 m.
La vitesse de l’eau s’�coulant par la vantelle (vanne) est donn�e par la formule suivante v = racine carr�e ( 2g(h-x)).

o� g = 9,81 (acc�l�ration en m�tre par seconde au carr� not� m.s−2) et v est la vitesse (en m�tre par seconde not� m.s−1)
1. Calculer l’arrondi � l’unit� de la vitesse de l’eau s’�coulant par la vantelle � l’instant de son ouverture. (On consid�re l’ouverture comme �tant instantan�e).
v = raccine carr� (2 x9,81 (4,3-1,8)) = 7,0 m s-1.
2. Pour quelle valeur de x, la vitesse d’�coulement de l’eau sera-t-elle nulle ? Qu’en d�duit-on pour le niveau de l’eau dans l’�cluse dans ce cas ?
Le niveau de l'eau dans l'�cluse est �gal  au niveau de l'eau en amont soit x = h = 4,3 m.
3. Le graphique donn� repr�sente la vitesse d’�coulement de l’eau par la vantelle en fonction du niveau x de l’eau dans l’�cluse.
D�terminer, par lecture graphique, la vitesse d’�coulement lorsque la hauteur de l’eau dans l’�cluse est de 3,4 m.

Exercice 8.
Le d�bit moyen q d’un fluide d�pend de la vitesse moyenne v du fluide et de l’aire de la section d’�coulement d’aire S. Il est donn� par la formule suivante :
q = S �v
o� q est exprim� en m3.s−1 ; S est exprim� en m2 ; v est exprim� en m.s−1.
Pour cette partie, on consid�rera que la vitesse moyenne d’�coulement de l’eau � travers la vantelle durant le remplissage est v = 2,8 m.s−1.
La vantelle a la forme d’un disque de rayon R = 30 cm.
1. Quelle est l’aire exacte, en m2, de la vantelle ?
S =pR2 = 0,32p = 0,09 p m2.
2. D�terminer le d�bit moyen arrondi au milli�me de cette vantelle durant le remplissage.
q = S v = 0,09 x3,141 x2,8 =0,792 m3 s-1.
3. Pendant combien de secondes, faudra-t-il patienter pour le remplissage d’une �cluse de capacit� 756 m3 ? Est-ce qu’on attendra plus de 15 minutes ?
756 /0,792 ~955 s ou 15 min 55 s, valeur sup�rieure � 15 min.

Exercice 9.
Certaines �cluses ont des portes dites � busqu�es � qui forment un angle point� vers l’amont de mani�re � r�sister � la pression de l’eau,
En vous appuyant sur le sch�ma ci-dessus, d�terminer la longueur des portes au cm pr�s.

sin 55 = AH / AP ; AP = AH / sin 55 = 2,9 / 0,81915 ~3,54 m.


  

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