Math�matiques, Brevet des coll�ges Asie 2014

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Exercice 1.  QCM
On laisse tomber une balle d’une hauteur de 1 m�tre. A chaque rebond elle rebondit des 3 /4
de la hauteur d’o� elle est tomb�e. Quelle hauteur atteint la balle au cinqui�me rebond ? Arrondir au cm pr�s.
Apr�s le premier rebond, la hauteur atteinte est 0,75 m= 75 cm.
Apr�s le second rebond, la hauteur atteinte est 0,75 x0,75=0,5625 m~ 56 cm.
Apr�s le troisi�me rebond, la hauteur atteinte est 0,5625 x0,75=0,421875 m~ 42 cm.
Apr�s le quatri�me rebond, la hauteur atteinte est 0,421875 x0,75=0,31640 m~ 32 cm.
Apr�s le cinqui�me rebond, la hauteur atteinte est 0,31640 x0,75=0,237 m~ 24 cm.
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Exercice 2.
Une corde de guitare est soumise � une tension T, exprim�e en Newton (N), qui permet d’obtenir un son quand la corde est pinc�e. Ce son plus ou moins aigu est caract�ris� par une fr�quence f exprim�e en Hertz (Hz).
La fonction qui � une tension T associe sa fr�quence est d�finie par la relation :
f (T ) = 20 racine carr�e (T) .
On donne ci-dessous la repr�sentation graphique de cette fonction.
D�terminer graphiquement une valeur approch�e de la tension � appliquer sur la corde pour obtenir un � La3 �, f = 440 Hz.

D�terminer par le calcul la note obtenue si on pince la corde avec une tension de 220 N environ.
f = 20 racine carr�e (220) ~297 Hz.  La corde est un R�3.
La corde casse lorsque la tension est sup�rieure � 900 N. Quelle fr�quence maximale peut-elle �mettre avant de casser ?
f = 20 racine carr�e (900) =600 Hz.




Exercice 3.
Les alv�oles des nids d’abeilles pr�sentent une ouverture ayant la forme d’un hexagone r�gulier de c�t� 3 mm environ. Construire un agrandissement de cet hexagone de rapport 10. (aucune
justification de la construction n’est attendue).
Exercice 4.
Dans chaque cas, dire si l’affirmation est vraie ou fausse. Justifier.
Cas 1 : � l’entr�e d’un cin�ma, on peut lire les tarifs ci-dessous pour une place de cin�ma.
Tarif d’une place de cin�ma :
Plein tarif : 9,50 €
Enfants (−12 ans) : 5,20 €
�tudiants : 6,65 €
S�niors : 7,40 €
Affirmation 1 : Les �tudiants b�n�ficient d’une r�duction de 30% sur le plein tarif. Vrai.
(9,5 -6,65) /9,50=0,3 ( 30 %).
Cas 2 : a et b d�signent des entiers positifs avec a > b. Faux.
Affirmation 2 : PGCD(a ; b) = a −b.
Contre exemple : a = 5 et b = 3. Le PGCD(5 ; 3) = 1 et non pas 5-3=2.
Cas 3 : A est �gale au produit de la somme de x et de 5 par la diff�rence entre 2x et 1. x d�signe un nombre relatif.
Affirmation 3 : A = 2x2 +9x −5. Vrai.
Somme de x et de 5 : (x+5). Diff�rence entre 2x et 1 :(2x-1).
(x+5)(2x-1)=2x2 +10x-x-5 = 2x2+9x-5.


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Exercice 5.
En utilisant le codage et les donn�es, dans chacune des figures, est-il vrai que les droites (AB) et (CD) sont parall�les ? Justifier vos affirmations.

Le triangle ABE, inscrit dans un demi-cercle est rectangle en B. Les droites (AB) et (CD), perpendiculaires � une m�me troisi�me ( BC), sont donc parall�les.

Exercice 6.
Une association d�cide d’organiser une tombola pour financer enti�rement une sortie pour ses adh�rents d’un montant de 2 660 €.
Le 1er ticket tir� au sort fera remporter le gros lot d’une valeur de 300 €,
Les 10 tickets suivants tir�s au sort feront remporter un lot d’une valeur de 25 € chacun.
Les 20 tickets suivants tir�s au sort feront remporter un lot d’une valeur de 5 € chacun.
L’association finance enti�rement les lots.
Chaque ticket de tombola est vendu 2 € et les tickets sont vendus durant 6 jours.
On a repr�sent� ci-dessous le diagramme des ventes des tickets durant ces 6 jours.

1. L’association pourra-t-elle financer enti�rement cette sortie ?
Recettes : (350 +225 +400 +125 +325 +475) x2=1900 x2 = 3800 €.
Valeur des lots : 300 +25 x 10 +20 x5 = 650 €.
B�n�fice : 3800 -650 = 3150 €, valeur sup�rieure � 2660 €, la sortie est donc financ�e.
2. Pour le m�me nombre de tickets vendus, proposer un prix de ticket de tombola permettant de financer un voyage d’une valeur de 10 000 € ?
Quel serait le prix minimal ?
1900 x = (10 000+650) ; x = 10 650 / 1900 =5,61 €
3. Le gros lot a �t� d�j� tir�. Quelle est la probabilit� de tirer un autre ticket gagnant ? (donner le r�sultat sous la forme fractionnaire)
30 tickets gagnants sut 1900-1 = 1899. La probabilit�  de tirer un ticket gagnant est : 30 /1899 ~ 0,016.


Exercice 7.
Les g�rants d’un centre commercial ont construit un parking souterrain et souhaitent installer un trottoir roulant pour acc�der de ce parking au centre commercial.
Les personnes empruntant ce trottoir roulant ne doivent pas mettre plus de 1 minute pour acc�der au centre commercial.
La situation est pr�sent�e par le sch�ma ci-dessous.
Mod�le 1: • Angle d’inclinaison maximum avec l’horizontale : 12 �. • Vitesse : 0,5 m/s
Mod�le 2 :• Angle d’inclinaison maximum avec l’horizontale : 6 �.  • Vitesse : 0,75 m/s.
Est-ce que l’un de ces deux mod�les peut convenir pour �quiper ce centre commercial ? Justifier.

PC2 = CH2 +PH2 = 32+252=9+625=634 ; PC ~25,2 m.
Dur�e du parcours PC sur le trotoir : mod�le 1 : 25,2 /0,5 =50,4 s. Le mod�le 1 convient.
Le mod�le 2 ne convient pas, la pente est sup�rieure � 6�.


  

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