Math�matiques, Brevet des coll�ges M�tropole 2014

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Exercice 1. 
Voici un octogone r�gulier ABCDEFGH.
1. Repr�senter un agrandissement de cet octogone en l’inscrivant dans un cercle de rayon
3 cm. Aucune justification n’est attendue pour cette construction.
2. D�montrer que le triangle DAH est rectangle.
Le triangle DAH est inscrit dans un demi-cercle de diam�tre DH. Ce triangle est rectaangle en A.
3. Calculer la mesure de l’angle BEH.
Le polygone r�guliier � 8 c�t�s est inscrit dans le cercle de centre O. Les angles au centre form�s par deux sommets cons�cutifs ont m�me mesure, dans  ce cas 360 / 8 = 45�.
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Exercice 2.
L�a a besoin de nouveaux cahiers. Pour les acheter au meilleur prix, elle �tudie les offres promotionnelles de trois magasins. Dans ces trois magasins, le mod�le de cahier dont elle a besoin a le m�me prix avant promotion.
Magasin A   :Cahier � l’unit� ou lot de 3 cahiers pour le prix de 2.
Magasin B: Pour un cahier achet�, le deuxi�me � moiti� prix.
Magasin C : 30% de r�duction sur chaque cahier achet�.
1. Expliquer pourquoi le magasin C est plus int�ressant si elle n’ach�te qu’un cahier.
Dans les magasins A et B l'achat d'un seul cahier ne donne aucune r�duction.
Dans le magasin C l'achat d'un seul cahier donne une r�duction de 30%.
2. Quel magasin doit-elle choisir si elle veut acheter :
a. deux cahiers ?
On note x le prix d'un cahier avant promotion.
A : 2x ; B : x +0,5 x = 1,5 x. C : r�duction 0,3x  soit prix pay� : 2(0,7x) = 1,4 x.
C est le plus int�ressant.
b. trois cahiers ?
A : 2x ; B 2x+0,5 x = 2,5 x ; C : 3(0,7x) = 2,1x.
A est le moins cher.
3. La carte de fid�lit� du magasin C permet d’obtenir 10% de r�duction sur le ticket de caisse, y compris sur les articles ayant d�j� b�n�fici� d’une premi�re r�duction.
L�a poss�de cette carte de fid�lit�, elle l’utilise pour acheter un cahier. Quel pourcentage de r�duction totale va-t-elle obtenir ?
Prix promotion : 0,7 x  ; r�duction carte de fid�lit� : 0,07x ; prix pay� : 0,63x ; r�duction 0,37 ( 37 %).
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Exercice 3.
Voici un programme de calculs :

1. Montrer que si on choisit 8 comme nombre de d�part, le programme donne 12 comme r�sultat.
8
8-6 =2 ; 8-2=6 ;
2 x6 = 12.
2. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que les r�ponses doivent �tre justifi�es.
Proposition 1 : Le programme peut donner un r�sultat n�gatif. Vrai.
Soit n le nombre positif choisi ; (n-6) (n-2)  : si n appartient � l'intervalle ]2 ; 6 [, le  r�sultat est n�gatif.
Proposition 2 : Si on choisit 0,5 comme nombre de d�part, le programme donne 33 /4. Vrai.
0,5-6 = -5,5 ; 0,5-2 = -1,5 ; (-5,5) x(-1,5)= = 33 /4.
4 comme r�sultat.
Proposition 3 : Le programme donne 0 comme r�sultat pour exactement deux nombres. Vrai.
 (n-6) (n-2) = 0 donne n = 2 et n = 6.
Proposition 4 : La fonction qui, au nombre choisi au d�part, associe le r�sultat du programme est une fonction lin�aire. Faux.
(n-6)(n-2) = n2 -8n+12 diff�re de a n +b avec a et b r�els.

 Exercice 4.
Un sac contient 20 jetons qui sont soit jaunes, soit verts, soit rouges, soit bleus. On consid�re l’exp�rience suivante : tirer au hasard un jeton, noter sa couleur et remettre le jeton dans le sac. Chaque jeton a la m�me probabilit� d’�tre tir�.
1. Le professeur, qui conna�t la composition du sac, a simul� un grand nombre de fois l’exp�rience avec un tableur. Il a repr�sent� ci-dessous la fr�quence d’apparition des diff�rentes couleurs apr�s 1 000 tirages.

a. Quelle couleur est la plus pr�sente dans le sac ? Aucune justification n’est attendue.
La fr�quence du jaune est la plus grande. Les jetons jaunes sont majoritaires.
b. Le professeur a construit la feuille de calcul suivante :

A
 B
 C
1
 Nombre de tirages
 Nombre de fois ou un jeton rouge appara�t
 Fr�quence d'apparition du rouge
2
 1
 0
 0
3
 2
 0
 0
4
 3
 0
 0
5
 4
 0
 0
6
 5
 0
 0
7
 6
 1
 0,166 666 667
8
 7
 1
 0,142 857 142
9
 8
 1
 0,125
10
 9
 1
 0,111 111 111
11
 10
 1
 0,1
Quelle formule a-t-il saisie dans la cellule C2 avant de la recopier vers le  bas ?
=B2 / A2
2. On sait que la probabilit� de tirer un jeton rouge est de 0,2. Combien y a-t-il de jetons rouges dans ce sac ?
Nombre total  de jetonx x 0,2 = 20 x 0,2 = 4.










Exercice 5. QCM
1. Quand on double le rayon d’une boule, son volume est par : 2 ; 4 ; 6 ; 8. ( 23 = 8).
2. Une vitesse �gale � 36 km.h−1 correspond � : 10 m/s ; 60 m/s ; 100 m/s ; 360 m/s. (36 / 3,6 =10 m/s).
3. Quand on divise racine carr�e (525) par 5 on obtient :
21 racine carr�e (5) ; 5 racine carr�e (21) ; racine carr�e (21) ; racine carr�e (105).
4. On donne : 1To (t�raoctet) = 1012 octets et 1 Go (gigaoctet) = 109 octets. On partage un disque dur de 1,5 To en dossiers de 60 Go chacun.
Le nombre de dossiers obtenus est �gal � : 25 ; 1000 ; 4 x 1022 ; 2,5 x  1019.
1,5 1012 / (60 x109 )= 1500 / 60 = 25.

Exercice 6.
Pour savoir si les feux de croisement de sa voiture sont r�gl�s correctementcorrectement, Pauline �claire un mur vertical comme l’illustre le dessin :
P d�signe le phare, assimil� � un point.

Pour que l’�clairage d’une voiture soit conforme, les constructeurs d�terminent l’inclinaison du faisceau. Cette inclinaison correspond au rapport
QK / QP . Elle est correcte si ce rapport est compris entre 0,01 et 0,015.
1. V�rifier que les feux de croisement de Pauline sont r�gl�s avec une inclinaison �gale � 0,014.
QK = 0,65 -0,58 = 0,07 m ;  Qk / PQ = 0,07 / 5 = 0,014.
2. Donner une mesure de l’angle �QPK correspondant � l’inclinaison. On arrondira au dixi�me de degr�.
tan ( angle QPK)= tan �= QK / PQ = 0,014 ; mesure de cet angle �= 0,80�.
3. Quelle est la distance AS d’�clairage de ses feux ? Arrondir le r�sultat au m�tre pr�s.
Dans le triangle PAS rectangle en A : tan � = AP / AS ; AS = AP /tan � = 0,65 / 0,014 ~46 m.


Exercice 7.
Un agriculteur produit des bottes de paille parall�l�pip�diques.
Information 1 : Dimensions des bottes de paille : 90 cm� 45 cm� 35 cm.
Information 2 : Le prix de la paille est de 40 € par tonne.
Information 3 : 1 m3 de paille a une masse de 90 kg.
1. Justifier que le prix d’une botte de paille est 0,51 € (arrondi au centime).
Volume d'une botte : 0,9 x 0,45 x 0,35 ~0,142 m3.
Masse = volume  x masse volumique = 0,142 x 90 =12,76 kg.
Prix : 12,76 x 40 / 1000 = 0,51 €.
2. Marc veut refaire l’isolation de la toiture d’un b�timent avec des bottes de paille parall�l�pip�diques. Le b�timent est un prisme droit dont les dimensions sont donn�es sur le
sch�ma ci-dessous.

Il disposera les bottes de paille sur la surface correspondant � la zone gris�e, pour cr�er une isolation de 35 cm d’�paisseur.
Pour calculer le nombre de bottes de paille qu’il doit commander, il consid�re que les bottes sont dispos�es les unes contre les autres. Il ne tient pas compte de l’�paisseur des planches entre lesquelles il ins�re les bottes.
a. Combien de bottes devra-t-il commander ?
JF2 = IJ2 +IF2 = (7,7-5)2 +3,62 = 20,25 ; JF = 4,5 m.
Aire du toit rectangulaire : JF x FG = 4,5 x15,3 = 68,85 m2.
Aire d'une botte rectangulaire : 0,9 x0,45 = 0,405 m2.
Nombre de bottes : 68,85 / 0,405 = 170 bottes.
b. Quel est le co�t de la paille n�cessaire pour isoler le toit ?
170 x0,51 = 86,7 €.


  

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