Math�matiques, Brevet des coll�ges M�tropole septembre 2014

Math�matiques, Brevet des coll�ges M�tropole septembre 2014

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Exercice 1.
C�dric s’entra�ne pour l’�preuve de v�lo d’un triathlon.
La courbe ci-dessous repr�sente la distance en kilom�tres en fonction du temps �coul� en minutes
Pour les trois premi�res questions, les r�ponses seront donn�es gr�ce � des lectures
graphiques. Aucune justification n’est attendue sur la copie.
1. Quelle distance C�dric a-t-il parcourue au bout de 20 minutes ? 10 km
2. Combien de temps amis C�dric pour faire les 30 premiers kilom�tres ? 50 minutes
3. Le circuit de C�dric comprend une mont�e, une descente et deux portions plates. Reconstituer dans l’ordre le trajet parcouru par C�dric.
En descente la vitesse augmente, pente du graphe plus grande que celle du plat..
En mont�e, la vitesse diminue, pente plus faible que celle du plat.

4. Calculer la vitesse moyenne de C�dric (exprim�e en km/h) sur la premi�re des quatre parties du trajet.
10 km parcourus en 20 minutes soit 1 / 3 heure.
v = 10 x3 = 30 km /h.

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Exercice 2.
Dans cet exercice, les figures cod�es ne sont pas en vraie grandeur.
Affirmation 1 : Le volume du solide (1) est 56 cm³. Faux.

Aire de base triangulaire fois hauteur = 2 x4 / 2 x7 = 28 cm³.
Affirmation 2 : Les droites (ML) et (NO) sont parall�les. Faux.
Affirmation 3 : La diagonale d’un carr� d’aire 36 cm² a pour longueur 6 racine carr�e(2) cm. Vrai.
c�t� du carr� : racine carr�e (36) = 6 ; diagonale = c�t� fois racine carr�e (2).
Affirmation 4 : 0 a un seul ant�c�dent par la fonction qui � tout nombre x associe 3x +5. Vrai.
0 = 3x+5 , 3x = -5 ; x = -5 /3.

Exercice 3.
Dans une classe de coll�ge, apr�s la visite m�dicale, on a dress� le tableau suivant :

Porte des lunettes
Ne porte pas de lunettes

Fille
3
15

Gar�on
7
5

Les fiches individuelles de renseignements tombent par terre et s’�parpillent.
1. Si l’infirmi�re en ramasse une au hasard, quelle est la probabilit� que cette fiche soit :
a. celle d’une fille qui porte des lunettes ?
3 cas favorables sur 30 ; la probabilit� qu'une fille porte des lunettes est : 3 / 30 = 0,10.
b. celle d’un gar�on ?
12 cas favorables sur 30 ; probabilit� que ce soit un gar�on : 12 / 30 = 2 / 5 = 0,40.
2. Les �l�ves qui portent des lunettes dans cette classe repr�sentent 12,5% de ceux qui en portent dans tout le le coll�ge. Combien y a-t-il d’�l�ves qui portent des lunettes dans le coll�ge ?
10 �l�ves portent des lunettes dans la classe.
10 /0,125 = 80 �l�ves portent des lunettes dans le coll�ge.

Exercice 4.
On s’int�resse � la zone au sol qui est �clair�e la nuit par deux sources de lumi�re : le lampadaire de la rue et le spot fix� en F sur la fa�ade de l’immeuble.

1. Justifier que l’arrondi au d�cim�tre de la longueur PL est �gal � 3,4 m.
tan a = PL / PH ; PL =PH tan a =4 tan 40 ~3,36 ~ 3,4 m.
2. Calculer la longueur LM correspondant � la zone �clair�e par les deux sources de lumi�re. On arrondira la r�ponse au d�cim�tre.
tan b = MC / FC ; MC =FC tan � =5 tan 33 ~ 3,25 m.
PL +MC -ML= PC ; ML = PL+MC-PC =3,36 +3,25 -5,5 =1,11 ~1,1 m.
3. On effectue des r�glages du spot situ� en F afin que M et L soient confondus.
D�terminer la mesure de l’angle� CFM. On arrondira la r�ponse au degr�.
tan �' = LC / FC =(5,5-3,4) / 5 = 0,42 ; �' ~22,8�~23�.

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Exercice 5.
L�a pense qu’en multipliant deux nombres impairs cons�cutifs (c’est-�-dire qui se suivent) et en ajoutant 1, le r�sultat obtenu est toujours un multiple de 4.
1. �tude d’un exemple :
5 et 7 sont deux nombres impairs cons�cutifs.
a. Calculer 5�7+1.
5 x7 = 35 ; 35+1 = 36.
b. L�a a-t-elle raison pour cet exemple ?
L�a a raison pour cet exemple.
2. Le tableau ci-dessous montre le travail qu’elle a r�alis� dans une feuille de calcul.

A
B
C
D
E

1

Nombre impair
Nombre impair suivant
Produit de ces nombres
impairs cons�cutif
R�sultat

2
x
2x+1
2x+3
(2x+1)(2x+3)
(2x+1)(2x+3)+1

3
0
1
3
3
4

4
1
3
5
15
16

5
2
5
7
35
36

6
3
7
9
63
64

7
4
9
11
99
100

8
5
11
13
143
144

a. D’apr�s ce tableau, quel r�sultat obtient-on en prenant comme premier nombre impair 17 ?
17 x19 +1 = 324
b. Montrer que cet entier est un multiple de 4.
324 / 4 =81.
c. Parmi les quatre formules de calcul tableur suivantes, deux formules ont pu �tre saisies dans la cellule D3. Lesquelles ? Aucune justification n’est
attendue.
Formule 1 : =(2*A3+1)*(2*A3+3)
Formule 2 : = (2*B3 + 1)*(2*C3 + 3)
Formule 3 : = B3*C3
Formule 4 : = (2*D3+1)*(2*D3+3).
3. �tude alg�brique :
a. D�velopper et r�duire l’expression (2x +1)(2x +3)+1.
4x²+2x+6x+3+1 =4x²+8x+4.
b. Montrer que L�a avait raison : le r�sultat obtenu est toujours un multiple de 4.
4x²+8x+4 = 4 (x² +2x+1) = 4 (2x+1)².

Exercice 6.
Julien veut mesurer un jeune ch�ne avec une croix de b�cheron comme le montre le sch�ma ci-dessous.
Il place la croix de sorte que O, D et A d’une part et O, E et B d’autre part soient align�s.
Il sait que DE = 20 cm et OF = 35 cm. Il place [DE] verticalement et [OF] horizontalement. Il mesure au sol BC = 7,7 m.

1. Le triangle ABO est un agrandissement du triangle ODE. Justifier que le coefficient d’agrandissement est 22.
BC / OF = 7,7 / 0,35 = 22.
2. Calculer la hauteur de l’arbre en m�tres.
3. Certaines croix du b�cheron sont telles que DE = OF. Quel avantage apporte ce type de croix ?
La mesure au sol OF donne directement la hauteur de l'arbre.
4. Julien enroule une corde autour du tronc de l’arbre � 1,5 m du sol. Il mesure ainsi une circonf�rence de 138 cm.
Quel est le diam�tre de cet arbre � cette hauteur ? Donner un arrondi au centim�tre pr�s.
pD = 138 ; D = 138 /3,14 = 43,9 ~44 cm.

Exercice 7.
Pour pr�parer un s�jour d’une semaine � Naples, un couple habitant Nantes a constat� que le tarif des billets d’avion aller-retour Nantes-Naples �tait beaucoup plus �lev� que celui des billets Paris-Naples. Il �tudie donc quel serait le co�t d’un trajet aller retour Nantes-Paris pour savoir s’il doit effectuer son voyage en avion � partir de Nantes ou � partir de Paris.
Voici les informations que ce couple a relev�es :
Vol aller-retour au d�part de Nantes
D�part de Nantes le 23/11/2014 : 06 h 35 ; Arriv�e � Naples le 23/11/2014 : 09 h 50
D�part de Naples le 30/1112014 : 12 h 50 ; Arriv�e � Nantes le 30/1112014 : 16 h 25
Prix par personne du vol aller-retour : 530 €.
Vol aller-retour au d�part de Paris
D�part de Paris le 23/11/2014 : 11 h 55 ; Arriv�e � Naples le 23/11/2014 : 14 h 10
D�part de Naples le 30/11/2014 : 13 h 10 ; Arriv�e � Paris le 30/11/2014 : 15 h 30
Prix par personne du vol aller-retour : 350 €.
Les passagers doivent �tre pr�sents 2 heures avant le d�collage pour proc�der � l’embarquement.

Prix et horaires des trains pour un passager
Trajet Nantes - Paris (A�roport) 23 novembre
D�part 06 h22 . Prix 51,00 €. Dur�e 03 h 16 direct. Voyagez avec TGV
Trajet Paris (A�roport) - Nantes 30 novembre
D�part 18 h 20. Prix 42,00 €. Dur�e 03 h 19 direct.Voyagez avec TGV .

Trajet en voiture : Parking de l’a�roport de Paris. Tarif : 58 € pour une semaine.
Consommation moyenne : 6 litres aux 100 km.
P�age Nantes-Paris : 35,90 €. Distance domicile-a�roport de Paris : 409 km.
Carburant : 1,30 € par litre.Temps estim� : 4 h 24 min.
1. Expliquer pourquoi la diff�rence entre les prix des 2 billets d’avion s’�l�ve � 360 ( pour ce couple)
2 x (530-350)=360.
2. Si le couple prend la voiture pour aller � l’a�roport de Paris :
a. D�terminer l’heure avant laquelle il doit partir de Nantes.
4 h 24 + 2h = 6 h24.
Heure du d�collage : 11 h 55.
Heure de d�part en voiture : 11 h 55 -6 h 24 = 5 h 31 min.
b. Montrer que le co�t du carburant pour cet aller est de 31,90 €.
Consommation : 409 /100 x6 =24,54 L.
Prix du carburant : 24,54 x1,30 = 31,90 €.
3. Quelle est l’organisation de voyage la plus �conomique ?
Voiture. Prix du carburant + p�age aller retour : 2(31,90 +35,9) = 135,6 €.
Parking Paris : 58 €. Total 135,6 +58 = 193,6 €.
Trains : 2(51 +42) =186 €.
Prendre le train entre Nantes et Paris, puis l'avion de Paris � Naples.

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