Math�matiques,
Brevet des coll�ges Polyn�sie septembre 2014
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Exercice 1.
Voici trois calculs effectu�s � la calculatrice.D�tailler ces calculs
afin de comprendre
les r�sultats donn�s par la calculatrice :
Exercice 2.
Pour choisir un �cran de t�l�vision, d’ordinateur ou une tablette
tactile, on peut s’int�resser :
• � son format qui est le rapport longueur de l’�cran largeur de l’�cran
• � sa diagonale qui se mesure en pouces. Un pouce est �gal � 2,54 cm.
1. Un �cran de
t�l�vision a une longueur de 80 cm et une largeur de 45 cm.
S’agit-il d’un �cran de format 4 / 3 ou 16 / 9 ?
80 / 45 = 16 x5 / (5x9) = 16 / 9.
2. Un �cran est
vendu avec la mention � 15 pouces �. On prend les mesures suivantes :
la longueur est 30,5 cm et la largeur est 22,9 cm. La mention � 15
pouces � est-elle bien adapt�e � cet �cran ?
15 x2,54 = 38,1 cm.
Diagonale 2 = largeur2 + longueur 2
= 22,92 +30,52 = 1454,66 ; diagonale = 38,1 cm,
en accord avec 15 pouces.
3. Une tablette
tactile a un �cran de diagonale 7 pouces et de format 4 /3. Sa longueur
�tant �gale � 14,3 cm, calculer sa largeur, arrondie au mm pr�s.
Longueur / largeur = 4 / 3 ; largeur = 3 / 4 x longueur = 3 / 4 x14,3 =
10,7 cm.
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Exercice 3.
1. Une bouteille opaque contient 20 billes dont les couleurs
peuvent �tre diff�rentes.
Chaque bille a une seule couleur. En retournant la bouteille, on fait
appara�tre au goulot une seule bille � la fois. La bille ne peut pas
sortir de la bouteille.
Des �l�ves de troisi�me cherchent � d�terminer les couleurs des billes
contenues dans la bouteille et leur effectif. Ils retournent la
bouteille 40 fois et obtiennent le tableau suivant :
Couleur
apparue
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rouge
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bleue
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verte
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Nombre
d'apparition de la couleur
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18
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8
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14
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Ces
r�sultats permettent-ils d’affirmer que la bouteille contient
exactement 9 billes rouges, 4 billes bleues et 7 billes vertes ?
Non, il faudrait retourner la bouteille un nombre de fois bien
sup�rieur � 40.
On peut simplement affirmer que sur 40 exp�riences :
la probabilit� du rouge est 18/40 = 9 / 20 ; celle du bleu est 8/40 = 4
/ 20 et celle du vert est 14/40 = 7 / 20.
2. Une seconde
bouteille opaque contient 24 billes qui sont soit bleues, soit rouges,
soit vertes.
On sait que la probabilit� de faire appara�tre une bille verte en
retournant la bouteille est �gale �
3 / 8 = 0,375 et la probabilit� de faire apparaitre une bille bleue est
�gale � 0,5. Combien de billes rouges contient la bouteille ?
Probabilit� du rouge = 1 -0,375 -0,5 = 0,125.
Nombre de billes rouges : 0,125 x 24 = 3.
Exercice 4.
La figure
ci-dessous, qui n’est pas dessin�e en vraie grandeur, repr�sente un
cercle (C) et plusieurs segments.
1. D�montrer
que le triangle ATB est rectangle.
Le triangle ATB est inscrit dans un demi-cercle de diam�tre AB. Ce
triangle est donc rectangle en T.
2. Calculer la
mesure de l’angle � arrondie au degr� pr�s.
tan � =TB / AT = 9 / 12 = 0,75 ; � = 36,9 ~37�.
3. Les droites
(AB) et (KF) sont-elles parall�les ?
4. Calculer l’aire
du triangle TKF.
Aire de ce triangle rectangle en T : TF x KF / 2 = 3 x 4 /2 =6 cm2.
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Exercice 5.
Pour
son anniversaire, Julien a re�u un coffret de tir � l’arc. Il tire une
fl�che. La trajectoire de la pointe de cette fl�che est repr�sent�e
ci-dessous.
La courbe donne la hauteur en m�tres (m) en fonction de la distance
horizontale en m�tres (m) parcourue par la fl�che
1. Dans cette
partie, les r�ponses seront donn�es gr�ce � des lectures graphiques.
Aucune justification n’est attendue sur la copie.
a. De quelle
hauteur la fl�che est-elle tir�e ? 1 m
b. � quelle
distance de Julien la fl�che retombe-t-elle au sol ? 10 m
c. Quelle est la
hauteur maximale atteinte par la fl�che ? 3 m
2. Dans cette
partie, les r�ponses seront justifi�es par des calculs :
La courbe ci-dessus repr�sente la fonction f d�finie par f (x) = −0,1x2
+0,9x +1.
a. Calculer f (5).
f(5) =-0,1 x52 +0,9 x5 +1 = -2,5 +4,5+1 = 3 m.
b. La fl�che s’
�l�ve-t-elle � plus de 3 m de hauteur ?
Non, 5 m est la hauteur maximale aatteinte, cela correspond au maximum
de la courbe.
Exercice 6.
ABC est un triangle tel que AB = 5 cm, BC = 7,6 cm et AC = 9,2 cm.
1. Tracer ce
triangle en vraie grandeur.
2. ABC est-il un
triangle rectangle ?
AC2 = 9,22 = 84,64.
AB2 +BC2 =52 +7,62 =25+ =
82,76.
La relation de Pythagore n'est pas v�rifi�e : ce triangle n'est pas
rectangle.
3. Avec un
logiciel, on a construit ce triangle, puis :
- on a plac� un point P mobile sur le c�t� [AC] ;
- on a trac� les triangles ABP et BPC ;
- on a affich� le p�rim�tre de ces deux triangles.
P�rim�tre de ABP = 13,29 ; p�rim�tre de BPC = 17,09
a. On d�place le
point P sur le segment [AC].
O� faut-il le placer pour que la distance BP soit la plus petite
possible ?
PB doit �tre perpendiculaire � AC.
b. On place
maintenant le point P � 5 cm de A.
Lequel des triangles ABP et BPC a le plus grand p�rim�tre ?
P�rim�tre de ABP : AB +BP +AP = 5 +BP +5 = 10 + BP.
P�rim�tre de BPC : PB + PC +BC = PB +(9,2-5) +7,6 =BP + 11,8, valeur
sup�rieure � 10 +BP.
Le triangle BPC a le plus grand p�rim�tre.
c. On d�place �
nouveau le point P sur le segment [AC].
O� faut-il le placer pour que les deux triangles ABP et BPC aient le
m�me p�rim�tre ?
P�rim�tre de ABP : AB +BP +AP = 5 +BP +x = 5+x + BP.
P�rim�tre de BPC : PB + PC +BC = PB +(9,2-x) +7,6 =BP + 16,8 -x.
5+x + BP = BP + 16,8 -x.
5+x =16,8-x ; 2x = 16,8 -5 = 11,8 ; x = 11,8 / 2 = 5,9.
Placer P � 5,9 cm de A.
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Exercice 7.
On
consid�re ces deux programmes de calcul :
Programme A :
Choisir un nombre
Soustraire 0,5
Multiplier le r�sultat par le double du nombre choisi au d�part
Programme B : Choisir
un nombre
Calculer son carr�
Multiplier le r�sultat par 2
Soustraire � ce nouveau r�sultat le nombre choisi au d�part
1. a. Montrer que
si on applique le programme A au nombre 10, le r�sultat est 190.
10-0,5 = 9,5.
9,5 x2x10 =190.
b. Appliquer le
programme B au nombre 10.
102 = 100 ; 100 x2 = 200 ; 200 -10 = 190.
2. On a utilis� un
tableur pour calculer des r�sultats de ces deux programmes.
Voici ce qu’on a obtenu :
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A
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B
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C
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1
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Nombre
choisi
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Programme
A
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Programme
B
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2
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1
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1
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1
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3
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2
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6
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6
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4
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3
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15
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15
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5
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4
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28
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28
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6
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5
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45
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45
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7
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6
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66
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66
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a. Quelle formule
a-t-on saisie dans la cellule C2 puis recopi�e vers le bas ?
=A2*A2*2-A2
b. Quelle
conjecture peut-on faire � la lecture de ce tableau ?
Les deux programmes donnent le m�me r�sultat.
c. Prouver cette
conjecture.
Soit x le nombre choisi.
Programme A : (x-0,5) 2x = 2x2 -x.
programme B : 2x2-x.
3.
Quels sont les deux nombres � choisir au d�part pour obtenir 0 �
l’issue de ces programmes ?
2x2 -x = x(2x-1) =0 ;
solutions x=0 et x = 0,5.
Exercice 8.
Un couple a achet� une maison avec piscine en vue de la louer. Pour cet
achat, le couple a effectu� un pr�t aupr�s de sa banque. Ils louent la
maison de juin � septembre et lamaison reste inoccup�e le reste de
l’ann�e.
Information 1 : D�penses li�es � cette maison pour l’ann�e 2013
Le diagramme ci-dessous pr�sente, pour chaque mois, le total des
d�penses dues aux diff�rentes taxes, aux abonnements (�lectricit�,
chauffage, eau, internet), au remplissage et au chauffage de la piscine.
Remboursement mensuel du pr�t.
Chaque mois, le couple doit verser 700 euros � sa banque pour
rembourser le pr�t.
Information 3 : Tarif de location de lamaison.
4 semaines en juin pour 750 € la semaine.
7 semaines en juillet ao�t pour .... € la semaine.
5 semaines en aout septembre pour 750 € la semaine.
Pour l’ann�e 2014, avec l’augmentation des diff�rents tarifs et taxes,
le couple pr�voit que le montant des d�penses li�es � lamaison sera
6%plus �lev� que celui pour 2013.
Expliquer pourquoi le total des d�penses li�es � la maison s’�l�vera �
4 505 € en 2014.
D�penses totale en 2013 : 250 x4 +450 +4 x550 +300 +2x150 =4250 €
4250 x1,06=4505 €.
On suppose que le couple arrive � louer sa maison durant toutes les
semaines de la p�riode de location. � quel tarif minimal (arrondi � la
dizaine d’euros) doit-il louer sa maison entre le 5/07 et 23/08 pour
couvrir les frais engendr�s par la maison sur toute l’ann�e 2014 ?
D�pense totale : 4505 + 12 x700 = 12905 €.
Gain : 4 x750 + 7 N +5 x750 = 12905 ; 7N = 12905- 6750=6155.
N = 6155 / 7 ~880 €.
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