Math�matiques, Brevet des coll�ges Am�rique du sud 2014

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Exercice 1.  QCM.
1. Une �cole de musique organise un concert de fin d’ann�e. Lors de cette manifestation la recette s’�l�ve � 1 300 €. Dans le public il y a 100 adultes et 50 enfants. Le tarif enfant co�te 4 € de
moins que le tarif adulte. Le tarif enfant est :
10 € ; 8 € ; 6 €.
On note x le tarif enfant : 50 x +100(x+4)=1300 ;
150 x +400 = 1300 ; 150 x = 900 ; x = 900 / 150 = 6.
2.
3. Le 27 janvier 2012, peu avant 16 h, un s�isme de magnitude 5,4 s’est produit dans la province de Parme dans le nord de l’Italie. La secousse a �t� ressentie fortement � G�nes, Milan, Turin mais �galement dans une moindre mesure � Cannes dans les Alpes Maritimes.
Les ondes sismiques ont mis 59 secondes pour parvenir � Cannes, situ�e � 320 km de l’�picentre.
La vitesse de propagation des ondes sismiques, exprim�e en kilom�tres par seconde, arrondie au dixi�me, est :5,4 ; 10,8 ; 59,3.
320 / 59 = 5,4 km /s.
.
.

Exercice 2.
On consid�re le parall�l�pip�de rectangle ABCDEFGH.
M est un point de [FG] et N un point de [EF].
On donne : FE = 15 cm; FG = 10 cm; FB = 5 cm; FN = 4 cm; FM= 3 cm.

1. D�montrer que l’aire du triangle FNM est �gal � 6 cm2.
base x hauteur / 2 = NF x FM / 2 = 4 x 3 / 2 = 6 cm2.
2. Calculer le volume de la pyramide de sommet B et de base le triangle FNM.
Base triangulaire x hauteur / 3 = 6 x5 /3 = 10 cm3.
3. On consid�re le solide ABCDENMGH obtenu en enlevant la pyramide pr�c�dente au parall�l�pip�de rectangle.
a. Calculer son volume.
Volume du parall�l�pip�de rectangle : AB x AD xAE =10 x 15 x 5 = 750 cm3.
750-10 = 740 cm3.
b. On appelle caract�ristique d’Euler d’un solide le nombre x tel que :
x = nombre de faces−nombre d’ar�tes+nombre de sommets. Recopier et compl�ter le tableau suivant :

Parall�l�pip�de ABCDEFGH
 Solide ABCDENMGH
Nombre de faces
 6
 7
Nombre d'ar�tes
 12
 14
Nombre de sommets
 8
 9
Caract�ristique x
 2
 2

.
...




Exercice 3.
Le document ci-dessous indique les tarifs postaux pour un envoi depuis la France m�tropolitaine d’une lettre ou d’un paquet en mode � lettre prioritaire �.
Ces tarifs sont fonction du poids de la lettre.
• Pour les envois vers : La France, Monaco, Andorre et secteurs postaux (arm�e).
Compl�ment d’affranchissement a�rien vers l’Outre-mer pour les envois de plus de 20 g
• Service universel : Jusqu’� 2 kg
• D�lai : J + 1, indicatif
• Dimensions : Minimales : 14�9 cm, maximales : L + l + H = 100 cm, avec L < 60 cm
• Compl�ment a�rien :
- Vers zone OM1 : Guyane, Guadeloupe, Martinique, La R�union, St Pierre et Miquelon, St-Barth�l�my, St-Martin et Mayotte : 0,05 ( par tranche de 10 g).
- Vers zone OM2 : Nouvelle-Cal�donie, Polyn�sie fran�aise, Wallis-et Futuna, TAAF. : 0,11 ( par tranche de 10 g).
• Exemple de compl�ment : Pour un envoi de 32 g vers la Guadeloupe : 1,10€ ++ 4�0,05€= 1,3 €.
Poids jusqu'�
 20g
 50g
 100g
 250g
 500g
 1 kg
 2 kg
 3 kg
tarif net ( €)
 0,66
 1,10
 1,65
 2,65
 3,55
 4,65
 6,00
 7,00
1. Expliquer pourquoi le co�t d’un envoi vers la France M�tropolitaine, en � lettre
prioritaire �, d’une lettre de 75 g est de 1,65 €.
Le poids est compris entre 50 et 100 g ; envoi vers la m�tropole : 1,65 €.
2. Montrer que le co�t d’un envoi � Mayotte, en � lettre prioritaire �, d’une lettre de 109 g est de 3,20 €.
Tarif pour une lettre de poids inf�rieure � 250 g : 2,65 €.
Compl�ment a�rien zone OM1 : 11 x 0,05 = 0,55 €.
Total : 2,65 +0,55 = 3,20 €.
3. Au moment de poster son courrier � destination de Wallis-et-Futuna, Lo�c s’aper�oit qu’il a oubli� sa carte de cr�dit et qu’il ne lui reste que 6,76 € dans son porte-monnaie.
Il avait l’intention d’envoyer un paquet de 272 g, en � lettre prioritaire �. Peut-il payer le montant correspondant ?
Tarif pour une lettre de poids inf�rieure � 500 g : 3,55 €.
Compl�ment a�rien zone OM2 : 28 x 0,11 = 3,08 €.
Total : 3,55 +3,08 = 6,63 €. Il peut payer.
4. Le paquet a les dimensions suivantes : L = 55 cm l = 30 cm et h = 20 cm. Le guichetier de l’agence postale le refuse. Pourquoi ?
: L + l + H =55 + 30 +20 = 105 cm, valeur sup�rieure � 100 cm, donc refus.

 Exercice 4.
Le principe d’un vaccin est d’inoculer (introduire dans l’organisme) � une personne saine, en tr�s faible quantit�, une bact�rie, ce qui permet � l’organisme de fabriquer des anticorps. Ces anticorps permettront de combattre la maladie par la suite si la personne souffre de cette maladie.
Lors de la visite m�dicale de Pablo le jeudi 16 octobre, le m�decin s’aper�oit qu’il n’est pas � jour de ses vaccinations contre le t�tanos. Il r�alise alors une premi�re injection d’anatoxine t�tanique et lui indique qu’un rappel sera n�cessaire. On r�alise des prises de sang quotidiennes pour suivre la r�action de l’organisme aux injections.

1. Combien de jours faut-il attendre, apr�s la premi�re injection, pour constater une pr�sence d’anticorps ?
Unefaible  pr�sence d'anticorps est constater 2 jours apr�s l'injection.
2. Quelle est la valeur maximale du taux d’anticorps atteinte apr�s la premi�re injection?
A quel jour de la semaine correspond cette valeur ?
Mardi 21 octobre, le taux d'anticorps est voisin de 100.
3. Au bout de combien de jours approximativement, apr�s la premi�re injection, Pablo n’a t-il plus d’anticorps dans son organisme ?
10 jours plus tard.
4. Durant combien de jours environ le taux d’anticorps est sup�rieur � 800 ?
Environ 2 jours.


.
.









Exercice 5.
L’oncle de Pauline participe r�guli�rement � une r�gate* organis�e tous les ans sur le m�me plan d’eau.
* r�gate : course de voiliers.
En 2012, il a r�alis� le parcours constitu� de deux boucles courtes et de trois boucles longues en 8 heures et 40 minutes.
Lors de sa participation en 2013, il lui a fallu 8 heures et 25 minutes pour achever le parcours constitu�, cette ann�e-l�, de trois boucles courtes et de deux boucles longues.
Il se souvient qu’il n’a parcouru aucune boucle en moins de 75 minutes. Il sait aussi qu’il lui a fallu, pour parcourir la boucle longue, 15 minutes de plus que pour la boucle courte.
Cependant il souhaite conna�tre la dur�e n�cessaire pour parcourir sur son voilier la boucle courte et la boucle longue.
1. Convertir en minutes les temps r�alis�s pour ces parcours de 2012 et 2013.
8 h 40 min = 8 x60 +40 = 520 min ; 8 h 25 min = 8 x60 +25 = 505 min.
2. Pauline a d�cid�, en utilisant un tableur, d’aider son oncle � d�terminer les dur�es pour la boucle courte ainsi que pour la boucle longue.
Une copie de l’�cran obtenu est donn�e ci-dessous.

 A
 B
 C
 D
 E
 F
 G
1
 x
 75
 80
 85
 90
 95
 100
2
 f(x)
 90
 95
 100
 105
 110
 115
3
 f(x)
 420
 445
 470
 495
 520
 545
4
 f(x)
 405
 430
 455
 480
 505
 530








Elle a not� x la dur�e en minutes pour la boucle courte.
a. Quelle formule permettant d’obtenir la dur�e en minutes n�cessaire au parcours de la boucle longue va-t-elle saisir dans la cellule B2 ?
= B1+15
b. Elle va saisir dans la cellule B3 la formule � =2*B1+3*B2 �. Que permet de calculer cette formule ?
La dur�e du parcours 2012.
c. Quelle formule va-t-elle saisir dans la cellule B4 pour calculer le temps de parcours lors de sa participation en 2013 ?
=3*B1+2*B2
Elle a ensuite recopi� vers la droite les formules saisies en B2, B3 et B4.
3. Si elle saisit le nombre 105 dans la cellule H1, quelles valeurs obtiendra-t-elle dans les cellules H2, H3 et H4 ?
H2 : 105+15 = 120 ; H3 : 2 x105 +3 x120 = 570 ; H4 : 3 x105 + 2x120 = 555.
4. � l’aide de la copie de l’�cran obtenu avec le tableur pr�ciser les dur�es n�cessaires � son oncle pour parcourir la boucle courte ainsi que pour parcourir la boucle longue.
Colonne F : 95 min pour la boucle courte et 110 minutes pour la boucle longue.

Exercice 6.
Lors d’une activit� sportive, il est recommand� de surveiller son rythme cardiaque. Les m�decins calculaient autrefois, la fr�quence cardiaque maximale recommand�e fm exprim�e en battements par minute, en soustrayant � 220 l’�ge a de la personne exprim� en ann�es.
1. Traduire cette derni�re phrase par une relation math�matique.
fm = 220-a, avec a �ge de la personne .
2. Des recherches r�centes ont montr� que cette relation devait �tre l�g�rement modifi�e. La nouvelle relation utilis�e par les m�decins est :
Fr�quence cardiaque maximale recommand�e = 208−(0,75�a).
a. Calculer la fr�quence cardiaque maximale � 60 ans recommand�e aujourd’hui par les m�decins.
208-0,75 x60 = 163.
b. D�terminer l’�ge pour lequel la fr�quence cardiaque maximale est de 184 battements par minute.
184 = 208-0,75 a ; 208-184 = 0,75 a ; 24 = 0,75 a ; a = 24 / 0,75 = 32 ans.
c. Sarah qui a vingt ans court r�guli�rement. Au cours de ses entra�nements, elle surveille son rythme cardiaque.
Elle a ainsi d�termin� sa fr�quence cardiaque maximale recommand�e et a obtenu 193 battements par minute. Quand elle aura quarante ans, sa
fr�quence cardiaque maximale sera de 178 battements par minute.
Est-il vrai que sur cette dur�e de vingt ans sa fr�quence cardiaque maximale aura diminu� d’environ 8%?
(193-178 ) / 193 = 0,078 ( 7,8 %). C'est vrai.


Exercice 7.
Joachim doit traverser une rivi�re avec un groupe d’amis. Il souhaite installer une corde afin que les personnes peu rassur�es puissent se tenir. Il veut conna�tre la largeur de la rivi�re � cet endroit (nomm� D) pour d�terminer si la corde dont il dispose est assez longue. Pour cela il a rep�r� un arbre (nomm� A) sur l’autre rive.
Il parcourt 20 m�tres sur la rive rectiligne o� il se situe et trouve un nouveau rep�re : un rocher (nomm� R).
Ensuite il poursuit sur 12 m�tres et s’�loigne alors de la rivi�re, � angle droit, jusqu’� ce que le rocher soit align� avec l’arbre depuis son point d’observation (nomm� B).
Il parcourt pour cela 15 m�tres. Il est alors satisfait : sa corde d’une longueur de 30 m�tres est assez longue pour qu’il puisse l’installer entre les points D et A.
A l’aide de la figure, confirmer sa d�cision.


  

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