Math�matiques, Brevet des coll�ges Asie 2015

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Exercice 1. 
Cet exercice est un QCM(questionnaire � choix multiples). Pour chaque ligne du tableau, une seule affirmation est juste.
Sur votre copie, indiquer le num�ro de la question et recopier l’affirmation juste. On ne demande pas de justifier.

Questions
 A
 B
 C
1
 L’�criture en notation scientifique
du nombre 587 000 000 est :
 5,87 x10-8 Faux
 587 x 106 Faux
 5,87 108 Vrai.
2
 Si on d�veloppe et r�duit l’expression
 (x + 2)(3x − 1) on obtient :
 3x2+5x-2
 Vrai
 3x2+6x+2
Faux
 3x2-1 Faux
3
 Dans un parking il y a des motos et des voitures.
 On compte 28 v�hicules et 80
roues. Il y a donc :
x voitures et y motos.
x+y = 28 ou 2x +2y = 56
4x +2y =80
Soustraire : 2x =24 ; x = 12
 20 voitures
Faux
 16 voitures Faux
 12 voitures
Vrai
4
 .Le produit de 18 facteurs
�gaux � −8 s’�crit :
 -818 Faux
 (-8)18 Vrai
 18 x(-8)
Faux
5
 La section d’un cylindre de
r�volution de diam�tre 4 cm
et de hauteur 10 cm par
un plan parall�le � son axe
peut �tre :
 un rectangle
de
dimensions
3 cm et 10 cm
Vrai
 un rectangle
de
dimensions
5 cm et 10 cm
Faux 		un rectangle
de
dimensions
3 cm et 8 cm
Faux

.
.
Exercice 2.
Julien est en retard pour aller rejoindre ses amis au terrain de basket.
Il d�cide alors de traverser imprudemment la route du point J au point F sans utiliser les passages pi�tons. Le passage pi�ton est suppos� perpendiculaire au trottoir.

En moyenne, un pi�ton met 9 secondes pour parcourir 10 m�tres.
Combien de temps Julien a-t-il gagn� en traversant sans utiliser le passage pi�ton ?
JF2 = FK2 +JK2 = 82 +152 = 64 +225 = 289 ; JF = 17 m.
Dur�e du parcours JF : 17 x 9 /10 =15,3 s.
Dur�e du parcours JK + KF  : 23 / 10 x 9 =20,7 s ; gain : 20,7-15,3 =   5,4 s.
...




Exercice 3.
Un bus transporte des �l�ves pour une comp�tition multisports. Il y a l� 10 joueurs de ping-pong, 12 coureurs de fond et 18 gymnastes. Lors d’un arr�t, ils sortent du bus en d�sordre.
1. Quelle est la probabilit� que le premier sportif � sortir du bus soit un joueur de ping-pong ?
Nombre de cas favorables : 10 ; nombre total de joueur : 40.
Probabilit� que le premier sortant joue au ping-pong : 10 / 40 = 0,25.
2. Quelle est la probabilit� que le premier sportif � sortir du bus soit un coureur ou un gymnaste ?
Nombre de cas favorables : 30 ; nombre total de joueur : 40.
Probabilit� que le premier sortantsoit un coureur ou un gymnaste : 30 / 40 = 0,75.
3. Apr�s cet arr�t, ils remontent dans le bus et ils accueillent un groupe de nageurs.
Sachant que la probabilit� que ce soit un nageur qui descende du bus en premier est de 1/5, d�terminer le nombre de nageurs pr�sents dans le bus.
Soit x le nombre de nageurs.
 Nombre total d'�l�ves : 40 +x ; nombre de cas favorables : x.
x / (40+x) = 1 / 5 = 0,2 ; x = 0,2 (40 +x) = 8 +0,2 x ; 0,8 x = 8 ; x = 10.

Exercice 4.
� la fin d’une f�te de village, tous les enfants pr�sents se partagent �quitablement les 397 ballons de baudruche qui ont servi � la d�coration. Il reste alors 37 ballons.
L’ann�e suivante, les m�mes enfants se partagent les 598 ballons utilis�s cette ann�e l�. Il en reste alors 13. Combien d’enfants, au maximum, �taient pr�sents ?
Soit N le nombre d'enfants : 397-37 = 360 est un multiple entier de N.
598-13 = 585 est un multiple entier de N.
360 = 23x 32 x5.
585 = 32 x 5 x 13.
PGCD de 360 et 585 : 32 x 5 =45.


.
.









Exercice 5.
Un bateau se trouve � une distance d de la plage.Supposons dans tout le probl�me que a= 45�,� = 65� et que L =BC= 80m.
1. Conjecturons la distance d � l’aide d’une construction
Mise au point par Thal�s (600 avant JC), la m�thode dite de TRIANGULATION propose une solution pour estimer la distance d.
a. Faire un sch�ma � l’�chelle 1/1 000 (1 cm pour 10 m).
b. Conjecturer en mesurant sur le sch�ma la distance d s�parant le bateau de la c�te.

2. D�terminons la distance d par le calcul.
a. Expliquer pourquoi la mesure de l’angle ACB est de 70�.
La somme des angles d'un triangle est �gale � 180 � : 180-45-65 = 70�.
b. Dans tout triangle ABC, on a la relation ci-dessus appel�e � loi des sinus � :
En utilisant cette formule, calculer la longueur BC. Arrondir au cm pr�s.
c. En d�duire la longueur CH arrondie au cm pr�s.
sin � =CH / BC ; CH = BC sin � = 60,2 x sin 65 = 54,56 m.

Exercice 6.
Soient les fonctions f , g et h d�finies par :
f (x) = 6x ;  g (x)= 3x2 −9x −7 et h(x) = 5x −7.
� l’aide d’un tableur, Pauline a construit un tableau de valeurs de ces fonctions.
Elle a �tir� vers la droite les formules qu’elle avait saisies dans les cellules B2, B3 et B4.
B3
 =3*B1*B1-9*B1-7

A
 B
 C
 D
 E
 F
 G
 H
1
 x
 -3
 -2
 -1
 0
 1
 2
 3
2
 f(x)=6x
 -18
 -12
 -6
 0
 6
 12
 18
3
 g(x) =3x2-9x-7
 47
 23
 5
 -7
 -13

 -13
 -7
4
 h(x)=5x-7
 -22
 -17
 -12
 -7
 -2
 3
 8
1. Utiliser le tableur pour d�terminer la valeur de h(−2).
h(-2) = -17.
2. �crire les calculs montrant que : g (−3) = 47.
3*(-3)*(-3) -9*(-3)-7=3*9+27-7=47
3. Faire une phrase avec lemot � ant�c�dent � ou le mot � image � pour traduire l’�galit� g (−3) = 47.
L'image de (-3) par la fonction g est 47 ; l'ant�c�dent de 47 par la fonction g est (-3).
4. Quelle formule Pauline a-t-elle saisie dans la cellule B4 ?
= 5 *B1 -7
5. a. D�duire du tableau ci-dessus une solution de l’�quation : 3x2−9x −7 = 5x −7.
x=0.
b. Cette �quation a-t-elle une autre solution que celle trouv�e gr�ce au tableur ? Justifier la r�ponse.
3x2−9x −7 -( 5x −7)=0 ; 3x2−9x-5x=0 ; x(3x-14)=0 ; solution x = 0 et x = 14 / 3.


Exercice 7.
Un aquarium a la forme d’une sph�re de 10 cm de rayon, coup�e en sa partie haute : c’est une � calotte sph�rique �.
La hauteur totale de l’aquarium est 18 cm.
1. Le volume d’une calotte sph�rique est donn� par la formule : V = p / 3  h2 (3r-h).
o� r est le rayon de la sph�re et h est la hauteur de la calotte sph�rique.
a. Prouver que la valeur exacte du volume en cm3 de l’aquarium est 1296 p.
V = p / 3 x 182(3x10-18)=1296 p.
b. Donner la valeur approch�e du volume de l’aquariumau litre pr�s.
1296 x3,14 ~ 4071 cm3 ~ 4 L.
2. On remplit cet aquarium � ras bord, puis on verse la totalit� de son contenu dans un autre aquarium parall�l�pip�dique. La base du nouvel aquarium est un rectangle de 15 cm par 20 cm.
D�terminer la hauteur atteinte par l’eau (on arrondira au cm).
15 x 20 x h = 4071 ; h = 4071 /(15 x  20) = 13,57 ~14 cm.


  

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