Math�matiques, Brevet des coll�ges Centres �trangers 2015

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Exercice 1. 
Pour cet exercice, aucune justification n’est attendue. En appuyant sur un bouton, on allume une des cases de la grille ci-dessous au hasard.
1. a. Quelle est la probabilit� que la case 1 s’allume ? 1 / 9.
b. Quelle est la probabilit� qu’une case marqu�e d’un chiffre impair s’allume ?
5 cas favorables : 1 ; 3 : 5 : 7 : 9 ; 5 / 9.
c. Pour cette exp�rience al�atoire, d�finir un �v�nement qui aurait pour probabilit� 1 /3.
La case un multiple 3 s'allume.
La case un nombre inf�rieur � 4 s'allume.
2. Les cases 1 et 7 sont rest�es allum�es. En appuyant sur un autre bouton, quelle est la probabilit� que les trois cases allum�es soient align�es ?
Seules les case �teintes peuvent s'allumer soit 7 cases.
Le chiffre 4 doit s'allumer, sa probabilit� est 1 / 7.
1
 2
 3
4
 5
 6
7
 8
 9

.
.
Exercice 2.
Le 14 octobre 2012, F�lix Baumgartner, a effectu� un saut d’une altitude de 38 969,3m�tres.
La premi�re partie de son saut s’est faite en chute libre (parachute ferm�).
La seconde partie, s’est faite avec un parachute ouvert.
Son objectif �tait d’�tre le premier homme � � d�passer le mur du son �.
� d�passer le mur du son � : signifie atteindre une vitesse sup�rieure ou �gale � la vitesse du son, c’est � dire 340 m.s−1.
La F�d�ration A�ronautique Internationale a �tabli qu’il avait atteint la vitesse maximale de 1 357,6 km.h−1 au cours de sa chute libre.
1. A-t-il atteint son objectif ? Justifier votre r�ponse.
1357,6 / 3,6 = 377,1 m /s, valeur sup�rieure � 340 m / s. L'objectif est atteint.
2. Voici quelques informations chiffr�es sur ce saut :
Altitude du saut 38 969,3 m
Distance parcourue en chute libre 36 529 m
Dur�e totale du saut 9 min 3 s
Dur�e de la chute libre 4 min 19 s
Calculer la vitesse moyenne de F�lix Baumgartner en chute avec parachute ouvert exprim�e en m.s−1. On arrondira � l’unit�.
Distance parcourue parachute ouvert : 38 969,3 -36 529 = 2 440,3 m.
Dur�e  de cette partie du saut : (9 x60 +3) - (4 x 60 +19) = 543 -259 = 284 s.
Vitesse moyenne : 2440,3 / 284 = 8,59 ~9 m /s.
...




Exercice 3.
Soit un cercle de diam�tre [KM] avec KM= 6 cm. Soit un point L sur le cercle tel que ML = 3 cm.
1. Faire une figure.

2. D�terminer l’aire en cm2 du triangle KLM. Donner la valeur exacte puis un arrondi au cm2 pr�s.

Exercice 4.
Mathilde et Paul saisissent sur leur calculatrice un m�me nombre. Voici leurs programmes de calcul
Programme de calcul de Mathilde
• Saisir un nombre
• Multiplier ce nombre par 9
• Soustraire 8 au r�sultat obtenu
Programme de calcul de Paul
• Saisir un nombre
 • Multiplier ce nombre par −3
• Ajouter 31 au r�sultat obtenu
1. On consid�re la feuille de calcul suivante :

A
 B
 C
 D
 E
 F
 G
 H
 I
 J
 K
 L
1
 Nombre de d�part
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10
2
 Mathilde










3
 Paul










a. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B2 puis �tirer jusqu’� la cellule L2  pour obtenir les r�sultats obtenus par Mathilde ?
=B1*9-8
b. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B3 puis �tirer jusqu’� la cellule L3 pour obtenir les r�sultats obtenus par Paul ?
=B1*(-3) +31
2. Voici ce que la feuille de calcul fait appara�tre apr�s avoir correctement programm� les cellules B2 et B3.

A
 B
 C
 D
 E
 F
 G
 H
 I
 J
 K
 L
1
 Nombre de d�part
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10
2
 Mathilde
 -8
 1
 10
 19
 28
 37
 46
 55
 64
 73
 82
3
 Paul
 31
 28
 25
 22
 19
 16
 13
 10
 7
 4
 1
Mathilde et Paul cherchent � obtenir lem�me r�sultat.
Au vu du tableau, quelle conjecture pourrait-on faire sur l’encadrement � l’unit� du nombre � saisir dans les programmes pour obtenir le m�me r�sultat ?
Le nombre � saisir doit �tre compris entre 3 et 4.
3. D�terminer par le calcul le nombre de d�part � saisir par Mathilde et Paul pour obtenir le m�me r�sultat et v�rifier la conjecture sur l’encadrement.
On note x ce nombre : 9x-8 = -3x+31 ; 12x = 39 ; x = 39 / 12 =3,25.
La conjecture �mise est donc correcte.


.
.









Exercice 5.
Il existe diff�rentes unit�s demesure de la temp�rature. En France, on utilise le degr� Celsius (�C), aux �tats-Unis on utilise le degr� Fahrenheit (�F). Voici une repr�sentation de cette correspondance :


1. En vous appuyant sur la repr�sentation pr�c�dente, d�terminer s’il y a proportionnalit� entre la temp�rature en degr� Celsius et la temp�rature en degr� Fahrenheit. Justifier votre r�ponse.
Il n'y a pas proportionalit� entre les degr�s Celcius et les degr�s Farhenheit, car le graphe est une droite qui ne passe pas par l'origine.
2. Soit f la fonction qui � une temp�rature x en degr� Celsius associe la temp�rature f (x) en degr� Fahrenheit correspondante. On propose trois expressions de f (x) :
Proposition 1 : f (x) = x +32. Proposition 2:  f (x) = 1,8x +32. Proposition 3 : f (x) = 2x +30.
� Les propositions 1 et 3 ne peuvent pas �tre correctes. C’est donc la proposition 2 qui convient. �. Justifier cette affirmation.
Pente de la droite : 32 / 17,5 ~1,8 et ordonn�e � l'origine : 32.
3. On consid�re la fonction f d�finie par f (x) = 1,8x +32. Calculer f (10) et f (−40).
f(10) =1,8 x10 +32 = 50 ; f(-40)= 1,8 x(-40) +32 = -40.
4. Existe-t-il une valeur pour laquelle la temp�rature exprim�e en degr� Celsius est �gale � la temp�rature exprim�e en degr� Fahrenheit ? Justifier votre r�ponse.
Les temp�ratures en degr� Celsius et en degr� Farhenheit doivent �tre �gales.
x = 1,8 x +32 ; -0,8 x = 32 ; x = -40.

Exercice 6.
La g�lule est une forme m�dicamenteuse utilis�e quand le m�dicament qu’elle contient a une odeur forte ou un go�t d�sagr�able que l’on souhaite cacher. On trouve des g�lules de diff�rents calibres. Ces calibres sont num�rot�s  000, 00, 0, 1, 2, 3, 4, 5 (� 000 � d�signant le plus grand calibre
et � 5 � d�signant le plus petit). Le tableau suivant donne la longueur de ces diff�rents calibres de g�lule :
Calibre de la g�lule
 000
 00
 0
 1
 2
 3
 4
 5
Longueur L de la g�lule ( mm)
 26,1
 23,3
 21,7
 19,4
 18,0
 15,9
 14,3
 11,1
On consid�re une g�lule constitu�e de deux demi-sph�res identiques de diam�tre 9,5 mm et d’une partie cylindrique d’une hauteur de 16,6 mm.

1. � quel calibre correspond cette g�lule ? Justifier votre r�ponse.
L = longueur du cylindre + diam�tre de la sph�re =16,6 + 9,5 = 26,1 mm ( cat�gorie 000).
2. Calculer le volume arrondi au mm3 de cette g�lule.
Vsph�re = 4 /3 p r3 = 4 / 3 x3,14 x(9,5 / 2)3=448,92 mm3.
Vcylindre =  p r2 h = 3,14 x(9,5 / 2)2x 16,6 =1176,64 mm3.
Vg�lule = 448,92 +1176,64 = 1625,56 ~1626 mm3.
3. Robert tombe malade et son m�decin lui prescrit comme traitement une bo�te d’antibiotique conditionn� en g�lules correspondant au croquis ci-dessus. Chaque g�lule de cet antibiotique a une masse volumique de 6,15 � 10−4 g/mm3. La bo�te d’antibiotique contient 3 plaquettes de 6 g�lules. Quelle masse d’antibiotique Robert a-t-il absorb�e durant son traitement ? Donner le r�sultat en grammes arrondi � l’unit�.
Masse d'une g�lule = volume x masse volumique = 1625,56 x 6,15 10-4 =0,9997 g.
Masse totale des18 g�lules ; 18 x 0,9997 = 17,99 ~18 g.


Exercice 7.
Une maison est compos�e d’une partie principale qui a la forme d’un pav� droit ABCDEFGH surmont� d’une pyramide IABCD de sommet I et de hauteur [IK1] perpendiculaire
� la base de la pyramide. Cette pyramide est coup�e en deux parties :
• Une partie basse ABCDRTSM destin�e aux chambres ;
• Une partie haute IRTSM r�duction de hauteur [IK2] de la pyramide IABCD correspondant au grenier.
On a : EH = 12m; AE = 3m; HG = 9m; IK1 = 6,75 m et IK2 = 4,5m.
La figure donn�e n’est pas � l’�chelle.

1. Calculer la surface au sol de la maison.
S = 12 x 9 = 108 m2.
2. Des radiateurs �lectriques seront install�s dans toute la maison, except� au grenier. On cherche le volume � chauffer de la maison.
a. Calculer le volume de la partie principale.
108 x 3 =324 m3.
b. Calculer le volume des chambres.
Volume de la grande pyramide : S IK1 / 3 = 108 x 6,75 /3 = 243 m3.
Corfficient de r�duction de la grande pyramide : 4,5 / 6,75 = 0,667 ( 2 /3).
Volume de la petite pyramide : 243 x(2/3)3=72 m3.
Volume des chambres : 243-72 =171 m3.
c. Montrer que le volume � chauffer est �gal � 495 m3.
324+171=495 m3.
3. Un expert a estim� qu’il faut dans cette maison une puissance �lectrique de 925 Watts pour chauffer 25 m�tres cubes.
Le propri�taire de la maison d�cide d’acheter des radiateurs qui ont une puissance de 1 800 watts chacun et qui co�tent 349,90 € pi�ce.
Combien va-t-il devoir d�penser pour l'achat des radiateurs ?
Puissance utile : 925 x495 /25 =18 315 W.
Nombre de radiateurs : 18315 / 1800 ~10 ; co�t : 349,90 x10 = 3499 €.
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