Math�matiques, Brevet des coll�ges Am�rique du Sud 2015

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Exercice 1.
Dans ce questionnaire � choix multiple, pour chaque question, une seule proposition est exacte. Pour chacune des questions, �crire le num�ro de la question et recopier la bonne r�ponse. Aucune justification n’est attendue. Une r�ponse correcte rapporte 1 point. Une r�ponse fausse ou l’absence de r�ponse ne retire aucun point.
1.(4 x racine carr� 2)2 = 42 x2 =32.
32 �tant le PGCD de 128 et 96.  (proposition 2).
2. La m�diane de la s�rie de valeurs : 7 ; 8 ; 8 ; 12 ; 12 ; 14 ; 15 ; 15 ; 41
M�diane : 12 ; moyenne ( 7+8+8+12+12+14+15+15+41) / 9 ~ 14,67.
La m�diane est inf�rieure � la moyenne ( proposition 2).
3. Dans une classe de 30 �l�ves, les 2 /3 des �l�ves viennent en bus. Combien
d’�l�ves ne viennent pas en bus ?
30(1-2/3)=30 / 3 = 10.( proposition 3).
4. Le syst�me suuivant a pour solution :
2x+y=11 et x-3y = -12.
2x+y=11 et 2x-6y = -24.
Soustraire :7y=11+24 = 35 soit y = 35 /7=5
Par suite x = -12+3x5 = 3. ( proposition 3).
.
.

Exercice 2.
On consid�re deux fonctions f(x) = -8x et g(x) =-6x+4.
On utilise un tableur pour calculer des images par f et g.

A
B
C
D
E
1
x
-3
0
2

2
f(x)=-8x
24
0
-16
-24
3
g(x)=-6x+4
22
4
-8
-14
1. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B2 avant de la recopier vers la droite ?
= -8*B1
2. Le contenu de la cellule E1 a �t� effac�. Peux-tu le retrouver ?
-24 / (-8) = 3.
3. On fabrique une nouvelle fonction h(x)= f (x)�g (x). La fonction h est-elle une fonction affine ?
h(x)=-8x(-6x+4)=48x2-32x.
h(x) n'est pas de la forme ax +b avec a et b constants : h(x) n'est pas affine.
...




Exercice 3.
Un � DJ � poss�de 96 titres de musique rap et 104 titres demusique �lectro. Lors de
ses concerts, il choisit les titres qu’il mixe au hasard.
1. Calculer la probabilit� que le premier titre soit un titre de musique rap.
 Cas favorables  96 sur un total de 200 : 96/200 = 0,48.
2. Pour varier ses concerts, le DJ souhaite r�partir tous ses titres en r�alisant des � mix � 2 identiques, c’est-�-dire comportant le m�me nombre de titres et la m�me r�partition de titres de musique � rap � et de musique � �lectro �.
a. Quel est le nombre maximum de concerts diff�rents pourra-t-il r�aliser ?
96 = 25 x3 ; 104= 23x13.
PGCD(96 ; 104) = 23=8.
b. Combien y aura-t-il dans ce cas de titres de musique rap et de musique �lectro par concert ?

96/8 =12 titres de rap et 104 / 8 = 13 titres d'�lectro.

Exercice 4.
Un charpentier doit r�aliser pour un de ses clients la charpente dont il a fait un sch�ma ci-dessous :

Il ne poss�de pas pour le moment toutes les dimensions n�cessaires pour la r�aliser mais il sait que :
 la charpente est sym�trique par rapport � la poutre [CD],
 les poutres [AC] et [HI] sont parall�les.
V�rifier les dimensions suivantes, calcul�es par le charpentier au centim�tre pr�s.
Toutes les r�ponses doivent �tre justifi�es.
1. D�montrer que hauteur CD de la charpente est �gale � 2,10 m.
tan 25 = CD / AD ; CD = AD tan 25 = 4,5 x tan 25 ~2,10 m.
2. D�montrer, en utilisant la propri�t� de Pythagore, que la longueur AC est �gale � 4,97 m.
AC2 = CD2 +AD2 =2,102 +4,52 =24,65 ; AC ~4,97 m.
3. D�montrer, en utilisant la propri�t� de Thal�s, que la longueur DI est �gale � 1,40 m.
4. Proposer deux m�thodes diff�rentes pour montrer que la longueur JD est �gale � 1,27 m. On ne demande pas de les r�diger mais d’expliquer la d�marche.
sin 25 = JD / HD ; JD = HD sin 25 = 3,0 x0,4226 ~1,27 m.
Calculer HI : HI2 = HD2 +ID2 = 32+1,42=10,96 ; HI = 3,31 m.
Aire du triangle HID : ID x HD / 2 = IH x JD / 2 ;
JD =
ID x HD /  IH= 1,4 x3 / 3,31 =1,27 m.


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Exercice 5.
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que les r�ponses doivent �tre justifi�es.
Affirmation 1 : n d�signe un nombre entier naturel.
L’expression n2−6n +9 est toujours diff�rente de 0. Faux.
n2−6n +9=(n-3)2 s'annule pour n = 3.
Affirmation 2 : Un faucon p�lerin vole vers sa proie � une vitesse de 180 km/h. Il est plus rapide qu’un ballon de football tir� � la vitesse de 51m/s. Faux.
180 /3,6 =50 km/h.

Exercice 6.
Monsieur et Madame Jean vont faire construire une piscine et l’entourer de dalles en bois sur une largeur de 2m.
Information 1 : les mod�les de piscine

D�bit de pompe : A : 8 m3 /h ; B : 10 m3 /h ; C : 12 m3/h.
Information 2 : les dalles en bois
Dalle J�coba en bois, L 100 cm� larg. 100 cm� �p. 28 mm
Quantit� pour 1m2 : 1
Epaisseur du produit (en mm) : 28
Couleur : Naturel
Prix indicatif : 13,90 € (le m�tre carr�)
Information 3 : la promotion sur les dalles en bois
Vente flash : 15% de remise.
Ils choisissent le mod�le de piscine qui a la plus grande surface.
Quel prix payent-ils pour leurs dalles s’ils profitent de la vente flash ?
Surface de la plus grande piscine C : S = 8 x4 = 32 m2.
Surface couverte en bois : (4+2+2) x ( 8+2+2)-32 = 64 m2.
Prix du m�tre carr� de bois : 13,90 x 0,85 = 11,815 €.
Co�t : 11,815 x 64 = 756,16 €.


Exercice 7.
Marc veut fabriquer un bonhomme de neige en bois.
Pour cela, il ach�te deux boules : une boule pour la t�te de rayon 3 cm et une autre boule pour le corps dont le rayon est 2 fois plus grand.
1. a. V�rifier que le volume de la boule pour la t�te est bien 36p cm3.
4 / 3 p r3 = 4 / 3 p x33=
36p cm3.
b. En d�duire le volume exact en cm3 de la boule pour le corps.
23x36p = 288 p cm3.
2. Marc coupe les deux boules afin de les assembler pour obtenir le bonhomme de neige.
Il coupe la boule repr�sentant la t�te par un plan situ� � 2 cm de son centre.

Quelle est l’aire de la surface d’assemblage de la t�te et du corps ? Arrondir le r�sultat au cm2.
AB2 = OB2 -OA2=9-4=5.
Aire du disque de rayon AB : p AB2 = 3,14 x5 = 15,7 ~16 cm2.

Exercice 8.
Sophie habite Toulouse et sa meilleure amie vient de d�m�nager � Bordeaux. Elles d�cident de continuer � se voir. Sophie consulte les tarifs de train entre les deux
villes :
- un aller-retour co�te 40 €
- si elle ach�te un abonnement pour une ann�e � 442 €, un aller-retour co�te alors moiti� prix.
Aider Sophie � choisir la formule la plus avantageuse en fonction du nombre de voyages.
Formule A : 40 x, avec x le nombre d'aller-retour.
Formule B : 442 + 20x.
Les deux formules sont identiques p�ur : 40x = 442+20x ; 20 x = 442 ; x = 442 / 20 = 22,1.
La formule A est la plus avantageuse pour un nombre d'aller-retour inf�rieur ou �gal � 22.
La formule B est la plus avantageuse pour un nombre d'aller-retour sup�rieur � 22.



  

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