Math�matiques, Brevet des coll�ges Polyn�sie 2016

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Exercice 1. 
Le Solitaire est un jeu de hasard de la Fran�aise des Jeux. Le joueur ach�te un ticket au prix de 2 €, gratte la case argent�e et d�couvre le �montant du gain �. Un ticket est gagnant si le �montant du gain � est sup�rieur ou �gal � 2 €.
Les tickets de Solitaire sont fabriqu�s par lots de 750 000 tickets. Le tableau ci-contre donne la composition d’un lot.

1. Si on pr�l�ve un ticket au hasard dans un lot,
a. quelle est la probabilit� d’obtenir un ticket gagnant dont le �montant du gain � est 4 € ?
83 000 / 750 000 = 0,11.
b. quelle est la probabilit� d’obtenir un ticket gagnant ?
(750 000-532173-100 000 ) / 750 000 = 0,157 ~0,16.
c. expliquer pourquoi on a moins de 2% de chance d’obtenir un ticket dont le �montant du gain � est sup�rieur ou �gal � 10 €.
(5400 +8150+400+15+2) / 750000 = 0,0186 <0,02 ( moins de 2%).
2. Tom dit : � Si j’avais assez d’argent, je pourrais acheter un lot complet de tickets Solitaire. Je deviendrais encore plus riche. � Expliquer si Tom a raison.
D�penses : 750 000 x 2 = 1 500 000 €.
Gain :100 000 x2 +83 000 x4 +20 860 x 6+5400 x12 +8150x20 +400 x 150 +15 000 +30 000 =989 960 € .
Tom n'a pas raison.
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Exercice 2.
 Voici un programme de calcul :
• Choisir un nombre entier positif
• Ajouter 1
• Calculer le carr� du r�sultat obtenu
• Enlever le carr� du nombre de d�part.
1. On applique ce programme de calcul au nombre 3. Montrer qu’on obtient 7.
3+1 = 4 ; 42 = 16 ; 16-9 = 7.
2. Voici deux affirmations :
Affirmation n� 1 : � Le chiffre des unit�s du r�sultat obtenu est 7 �.
Affirmation n� 2 : � Chaque r�sultat peut s’obtenir en ajoutant le nombre entier de d�part et le nombre entier qui le suit �.
a. V�rifier que ces deux affirmations sont vraies pour les nombres 8 et 13.
8+1 = 9 ; 92 = 81 ; 81-82 = 81-64 =17 soit 8+9 = 17.
 13+1 = 14 ; 142 = 196 ; 196-132 = 193-169 =27soit 13+14 = 27.
b. Pour chacune de ces deux affirmations, expliquer si elle est vraie ou fausse quel que soit le nombre choisi au d�part.
Le nombre choisi au d�part est not� x : (x+1)2-x2 = (x+1-x)(x+1+x) = x+x+1.
L'affirmation 2 est vrai, quel que soit le nombre choisi au d�part.
Si x = 4, on obtient 9. L'affirmation 1 est fausse.
...




Exercice 3.
Dans la figure ci-dessous :
• ABE est un triangle ;  AB = 6 cm, AE = 8 cm et BE = 10 cm ;
• I et J sont les milieux respectifs des c�t�s [AB] et [AE] ;
• le cercle (C) passe par les points I, J et A.
1. Peut-on affirmer que les droites (IJ) et (BE) sont parall�les ?
2. Montrer que le triangle ABE est rectangle.
3. Quelle est la mesure de l’angle AEB ? On donnera une valeur approch�e au degr� pr�s.

4. a. Justifier que le centre du cercle (C) est le milieu du segment [IJ].
Le triangle AIJ est rectangle en A et inscrit dans un cercle dont le diam�tre est son hypoth�nuse IJ.
Le centre du cercle (C) est le milieu du segment [IJ].
b. Quelle est la mesure du rayon du cercle (C) ?
IJ = BE / 2 = 5 cm; rayon du cercle R = 2,5 cm.

Exercice 4.
Une association cycliste organise une journ�e de randonn�e � v�lo. Les participants ont le choix entre trois circuits de longueurs diff�rentes : 42 km, 35 km et 27 km.
� l’arriv�e, les organisateurs rel�vent les temps de parcours des participants et calculent leurs vitesses moyennes. Ils regroupent les informations dans un tableau dont voici un extrait :

A B C D E F
1 Nom du sportif Alix David Gwenn Yassin Zo�
2 Distance parcourue (km) 35 42 27 35 42
3 Dur�e de la randonn�e (h) 2 3 1,5 1,75 1,6
4 Vitesse moyenne ( km / h) 17,5



1. Quelle distance David a-t-il parcourue ? 42 km.
2. Calculer les vitesses moyennes de David et de Gwenn.
David : 42 / 3 = 14 km /h ; Gwenn : 27 /1,5 = 18 km/h.
3.a. Quel nombre doit-il saisir dans la cellule E3 pour renseigner le temps de Yassin ?
1 h 45 min soit 1 h +45 / 60 = 1 ,75 h.
b. Expliquer pourquoi il doit saisir 1,6 dans la cellule F3 pour renseigner le temps de Zo�.
1 h 36 min soit 1 h +36 / 60 = 1 ,6 h.
c. Quelle formule de tableur peut-il saisir dans la cellule B4 avant de l’�tirer sur la ligne 4 ?
=B2/B3.
4. Les organisateurs ont oubli� de noter la performance de Stefan.
Sa montre GPS indique qu’il a fait le circuit de 35 km � la vitesse moyenne de 25 km/h.
Combien de temps a-t-il mis pour faire sa randonn�e ? On exprimera la dur�e de la randonn�e en heures et minutes.
dur�e = distance (km) / vitesse ( km /h) =35 / 25 =1, 4 h soit 1 heure et 0,4 x60 =24 minutes  ( 1h24min).


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Exercice 5.
On d�coupe la pyramide FIJK dans le cube ABCDEFGH comme le montre le dessin ci-dessous.
Le segment [AB] mesure 6 cm. Les points I, J, et K sont les milieux respectifs des ar�tes [FE], [FB] et [FG].
1. Tracer le triangle IFK en vraie grandeur.
2. Un des quatre sch�mas ci-dessous correspond au patron de la pyramide FIIK. Indiquer son num�ro sur la copie.
Le patron est constitu� de 3 triangles rectangles de m�me sommet F et d'un triangle �quilat�ral.

3. Calculer le volume de la pyramide FIJK.
Aire de la base KFJ( triangle rectanble isoc�le) = A=3 x3 /2 = 4,5 cm2. Hauteur IF = 3 cm.
Volume de la pyramide : aire de base fois hauteur / 3 = 4,5 x3 / 3 = 4,5 cm3.

Exercice 6.
M. Durand doit changer de voiture. Il choisit un mod�le PRIMA qui existe en deux versions : ESSENCE ou DIESEL.
 Il dispose des informations suivantes :
Mod�le essence : consommation moyenne 6,2 L aux 100 km ; prix d'achat : 21 550 €. Prix d'un litre de carburant : 1,415 €
Mod�le Diesel : consommation moyenne 5,2 L aux 100 km ; prix d'achat : 23 950 €. Prix d'un litre de carburant : 1,224 €
Durant les derni�res ann�es, M. Durand a parcouru en moyenne 22 300 kmpar an.
Pour choisir entre les deux mod�les,il d�cide de r�aliser le tableau comparatif ci-dessous, �tabli pour 22 300 kmparcourus en un an.
1. Recopier et compl�ter le tableau en �crivant les calculs effectu�s.

 Version essence Version Diesel
Consommation de carburant ( L) 1383 223 x5,2 =1159,6
Budget carburant (€) 1957 223 x1,224 x5,2 =1419,35 €
2. M. Durand choisit finalement la version DIESEL.
En consid�rant qu’il parcourt 22 300 km tous les ans et que le prix du carburant ne varie pas, dans combien d’ann�es l’�conomie r�alis�e sur le carburant compensera-t-elle la diff�rence de prix d’achat entre les deux versions ?
Diff�rence des prix d'achat : 23950-21550=2400 €.
Diffr�ence annuelle  du carburant : 1957-1419,35 =537,65 €.
Nombre d'ann�e : 2400 / 537,65 = 4,46 ( 5 ans ).


Exercice 7.
Les continents occupent 5 /17 de la superficie totale de la Terre.
1. L’oc�an Pacifique recouvre la moiti� de la superficie restante. Quelle fraction de la superficie totale de la Terre occupe-t-il ?
Les oc�ans occupent 12 / 17 de la surface de laterre.
L'oc�an Pacifique en occupe   6 /17 de lasurface de la terre.
2. Sachant que la superficie de l’oc�an Pacifique est de 180 000 000 km2, d�terminer la superficie de la Terre.
180 000 000 x17 / 6 = 510 000 000 km2.



  

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