Math�matiques, brevet Am�rique du Nord 2017 .

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1. Recopier la bonne r�ponse.
La somme suivante est �gale � :
L'�quation 5x+12 = 3 a pour solution :
5x = 3-12 ; x = -9 / 5= -1,8. R�ponse C.
Une valeur approch�e au dixi�me pr�s du nombre suivant est :


2. Avec un logiciel de g�om�trie, on ex�cute le programme suivant :
Construire un carr� ABCD.
Tracer le cercle de centre A et de rayon [AC]
Placer le point E � l'intersection du cercle et de la demi-droite (aB).
Construire le carr� DEFG.

1. R�aliser la construction avec AB = 3 cm.
2. Dans cette question AB = 10 cm.
a. Montrer que AC = racine carr�e (200) cm.
ABC est un triangle rectangle isoc�le en B.
AC2 = AB2 +BC2 = 102 +102 = 200 ; AC = racine carr�e (200) cm.
b. Expliquer pourquoi AE = racine carr�e (200) cm.
AC et AE sont les rayons d'un m�me cercle.
c. Montrer que l'aire du carr� DEFG est le triple de l'aire du carr� ABC.
Aire du carr� ABC = 10 x10 = 100 cm2.
Le triangle DAE est rectangle en A.
DE2 = AD2 +AE2 = 102 +200 =300  cm2.
L'aire du carr� DEFG est �gale � DE2 = 300 cm2.
3. On admet pour cette question que pour n'importe quelle longueur du c�t� (AB], l'aire du carr� DEFG est toujours le triple de l'aire du carr� ABCD.
On souhaite obtenir un carr� DEFG ayant une aire de 48 cm2. Quelle longueur AB faut-il choisir ?
Aire du carr� ABCD = 48 / 3 = 16 cm2. AB = 4 cm.
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 3. Probabilit�s.
Il y a dans une urne 12 boules indiscernables, num�rot�es de 1 � 12. On tire une boule au hasard.
1. Est-il plus probable d'obtenir un num�ro pair ou bien un multiple de 3 ?
 Nombre pair : 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12.
Probabilit� de tirer un num�ro pair = 6 / 12 = 0,5.
Multiple de 3 : 3 ; 6 ; 9 ; 12.
Probabilit� de tirer un multiple de 3 = 4 / 12 = 1 /3.
Il est plus probable de tirer un num�ro pair que de tirer un multiple de 3.
2. Quelle est la probabilit� d'obtenir un num�ro inf�rieur � 20 ?
12 cas favorables sur 12 possibilit�s. La probabilit� d'obtenir un num�ro inf�rieur � 20 vaut 1.
3. On enl�ve de l'urne toutes les boules dont le num�ro est un diviseur de 6. On tire � nouveau une boule au hasard. Expliquer pourquoi la probabilit� d'obtenir un num�ro qui soit un nombre premier est alors 0,375.
Num�ros retir�s : 1 ; 2 ; 3 ; 6.
Num�ros restants : 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12.
Nombres premiers restants : 5 ; 7 ; 11.
3 cas favorables sur 8 cas possibles.
Probabilit� de tirer un nombre premier : 3 / 8 = 0,375.

4. Les donn�es et les questions de cet exercice concernent la France m�tropolitaine.
En 2015, environ 4,7 % de la population fran�aise souffrait d'allergies alimentaires.
En 2010, les personnes concern�es par les allergies alimentaires �taient deux fois moins nombreuses qu'en 2015.
En 1970, seulement 1% de la population �tait concern�e.

Partie 1.
1. D�terminer une estimation du nombre de personnes, � 100 000 pr�s, qui souffraient d'allergies alimentaires en France en 2010.
Population fran�aise en 2015 : 61 000 000.
Personnes souffrant d'allergies alimentaires en 2015 :
61 000 000 x4,7 / 100 ~2 867 000.
personnes souffrant d'allergies alimentaires en 2010 :
 2 867 000 / 2 = 1 433 500 ~ 1 400 000.
2. Est-il vrai qu'en 2015, il y avait environ 6 fois plus de personnes concern�es qu'en 1970 ?.
Population fran�aise en 1970 : 50 500 000.
Nombres de personnes souffrant d'alergies alimentaires en 1970 : 505 000.
2 867 000 / 505 000 ~5,7. environ 6. L'affirmation est vraie.
...




Partie II..
En 2015, dans un coll�ge de 681 �l�ves, 32 souffraient d'allergies alimentaires. le tableau suivant indique le type d'aliments auxquels ils r�agissent.
Aliments
 lait
 Fruits
 Arachides
 Poisson
 Oeuf
Nombre �l�ves concern�s
 6
 8
 11
 5
 9

1. La proportion des �l�ves de ce coll�ge souffrant d'allergies alimentaires est-elle sup�rieure � celle de la population fran�aise ?
32 / 681 x100 ~4,7 %, valeur identique � la proportion d'allergies alimentaires dans la population fran�aise en 2015.
2. Jawad est �tonn� : " j'ai additionn� tous les nombres indiqu�s dans le tableau et j'ai obtenu 39 au lieu de 32". Expliquer cette diff�rence.
Certains �l�ves sont allergiques � plusieurs produits alimentaires.
3. Lucas et margot ont commenc� un diqgramme pour repr�senter les allergies des 32 �l�ves de leur coll�ge..
a. Qui de Lucas ou de margot a fait le choix le mieux adapt� � la situation ? Justifier.
Reproduire et terminer le diagramme choisi.
Le diagramme de Lucas est plus lisible que celui de Margot.
5. L'image ci-dessous repr�sente la position obtenu au d�clenchement du bloc d�part d'un programme de jeu.
L'arri�re plan est constitu� de points espac� de 40 unit�s.
Dans cette position le chat a pour coordonn�es (-120 ; -80).
Le but du jeu est de positionner le chat sur la balle.

 1. Quelles sont les coordonn�es du centre de la balle ?
4 x40 = 160 ; 3 x40 = 120.
2. Dans cette question, le chat est dans la position obtenue au d�clenchement du bloc d�part. Voici le script du lutin chat qui se d�place.
Quand fl�che gauche est cliqu� ajouter -40 � x
Quand fl�che droite est cliqu� ajouter 80 � x.
Quand fl�che haut est cliqu� ajouter 80 � y.
Quand fl�che bas est cliqu� ajouter -40 � y.
a. Expliquer pourquoi le chat ne revient pas � la position de d�part si le joueur appuie sur la touche --> puis sur la touche <--.
--> conduit � x+80 et --> conduit � (x+80)-40 = x+40.
b. Le joueur appuie sur la succession de touches suivante -->  --> , vers le haut , <--, vers le bas.
Quelles sont les coordonn�es du chat apr�s ce d�placement ?
Position initiale ; x = 160 ; y = 120.
Position apr�s2 fl�ches � droites : x =160+80+80 =320 ; y = 120.
Position appr�s une fl�che vers le haut : x = 320 ; y = 120 +80 = 200.
Position apr�s <-- : x = 320-40 = 280 ; y = 200.
Position apr�s fl�che vers le bas :x = 280 ; y = 200-40 = 160.
c. Parmi les propositions ci-dessous laquelle permet au chat d'atteindre la balle ?










6. Le sch�ma ci-dessous repr�sente le jardin de Le�la. Il n'est pas � l'�chelle.
[OB] et [OF] sont des murs, OB = 6 m et OF = 4 m.

La ligne pointill�e BCDEF repr�sente le grillage que Le�la veut installer pour d�limiter un enclos rectangulaire OCDE.
Elle dispose d'un rouleau de 50 m de grillage qu'elle veut utiliser enti�rement. Elle envisage plusieurs possibilit�s pour placer le point C.
1. En pla�ant C pour que BC = 5 m, elle obtient que EF = 15 m.
a. V�rifier qu'elle utilise les 50 m de grillage.
CD = OF +EF = 4 +15 = 19 m ; ED = OB +BC = 6 +5 = 11 m.
FE +ED +CD +BC = 15 +11 +19 +5 = 50 m.
b. Justifier que l'aire A de l'enclos OCDE est 209 m2.
A = ED x CD = 11 x 19 =209 m2.
2. Pour avoir une aire maximale, le proffesseur lui �crit : " en notant BC = x, on a A(x) = -x2 +18x +144".
V�rifier que cette formule est coh�rente avec le r�sultat de la question 1.
A(5) = -25 +18 x5 +144 =209 m2.
3.a. Le�la a saisi une formule en B2 puis l'a �tir�e jusqu' � la cellule I2.

Quelle formule est alors inscrite dans la cellule F2 ?
=-F1*F1+18*F1+144
b. Parmi les valeurs du tableau, quelle est celle que Le�la va choisir pour BC afin d'obtenir un enclos d'aire maximale ?
A = 225 m2 ; x = 9 m.
c. Donner les dimensions de l'enclos obtenu.
ED = OB +BC = 6 +9 = 15 m. CD = 225 / 15 = 15 m.

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