Math�matiques,
Brevet Centre �tranger 2017.
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d’int�r�ts.
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Exercice 1. 6 points
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou
fausse. Chaque r�ponse doit �tre justifi�e.
Affirmation 1
:
Un menuisier prend les mesures suivantes dans le coin d'un mur � 1
m�tre au-dessus du sol pour construire une �tag�re ABC :
AB = 65 cm ;
AC = 72 cm et BC = 97 cm
Il r�fl�chit quelques minutes et assure que l'�tag�re a un angle droit. Vrai.
BC 2 = 97 2 = 9409 ; AB 2+AC 2=65 2+72 2=9409
; BC2 =AB2+AC2.
D'apr�s la r�cioroque du th�or�me de Pythagore, le triangle ABC est
rectangle en A.
Affirmation
2 :
Les normes de construction imposent que la pente d’un toit repr�sent�e
ici par l’angle � doit avoir une mesure comprise entre 30� et 35�.
Une coupe du toit est repr�sent�e : AC = 6 m et AH = 5 m. H est le
milieu de [AB].
Le charpentier affirme que sa construction respecte la norme. Vrai.
cos � =AH / AC = 5 / 6 ~0,833 ; � ~33,6�.
Affirmation 3.
Un peintre souhaite repeindre les volets d’une maison. Il constate
qu'il utilise 1 / 6 du pot pour mettre une couche de peinture sur
l’int�rieur et l’ext�rieur d’un volet. Il doit peindre ses 4 paires de
volets et mettre sur chaque volet 3 couches de peinture.
Il affirme qu'il lui faut 2 pots de peinture. Faux.
Pour trois couches sur un volet, il faut : 3 / 6 = 1 / 2 = 0,5.
Nombre de volets � peindre : 4 paires soit 8 volets.
Nombre de pots : 8 x0,5 = 4.
Exercice 2 : (7
points)
Partie 1 :
Pour r�aliser une �tude sur diff�rents isolants, une soci�t� r�alise 3
maquettes de maison strictement identiques � l’exception pr�s des
isolants qui diff�rent dans chaque maquette. On place ensuite ces 3
maquettes dans une chambre froide r�gl�e � 6�C. On r�alise un relev�
des temp�ratures ce qui permet de construire les 3 graphiques suivants :
1. Quelle �tait la
temp�rature des maquettes avant d'�tre mise dans la chambre froide ? 20�C.
2. Cette exp�rience
a-t-elle dur� plus de 2 jours ? Justifier votre r�ponse.
La temp�rature � l'int�rieur des maquettes se stabilise � 6�C au bout
d'une dur�e sup�rieure � 55 h soit plus de deux jours.
3. Quelle est la
maquette qui contient l'isolant le plus performant ? Justifier votre
r�ponse.
La temp�rature dans la maquette B se stabilise � 6�C au bout de
70 h. Elle contient le mat�riau le plus isolant.
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....
.....
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Partie 2 :
Pour respecter la norme RT2012 des maisons BBC (B�timents Basse
Consommation), il faut que la r�sistance thermique des murs not�e R
soit sup�rieure ou �gale � 4. Pour calculer cette r�sistance thermique,
on utilise la relation : R = e / C
o� e d�signe l'�paisseur de l'isolant en m�tre et C d�signe le
coefficient de conductivit� thermique de l'isolant. Ce coefficient
permet de conna�tre la performance de l'isolant.
1. Noa a choisi
comme isolant la laine de verre dont le coefficient de conductivit�
thermique est : C = 0,035. Il souhaite mettre 15 cm de laine de verre
sur ses murs. Sa maison respecte-t-elle la norme RT2012 des maisons BBC
?
R = 0,15 / 0,035 ~4,3, valeur sup�rieure � 4, la norme est respect�e.
2. Camille souhaite
obtenir une r�sistance thermique de R = 5. Elle a choisi comme isolant
du li�ge dont le coefficient de conductivit� thermique est : C = 0,04.
Quelle �paisseur d'isolant doit-elle mettre sur ses murs ?
e = R C = 5 x 0,04 = 0,2 m ( 20 cm).
Exercice 3 : (6
points)
Voici les dimensions de quatre solides :
- Une pyramide de 6 cm de hauteur dont la base est un rectangle de 6 cm
de longueur et de 3 cm de largeur.
- Un cylindre de 2 cm de rayon et de 3 cm de hauteur.
- Un c�ne de 3 cm de rayon et de 3 cm de hauteur.
- Une boule de 2 cm de rayon.
1. a) Repr�senter
approximativement les trois premiers solides.
b) Placer les
dimensions donn�es sur les repr�sentations.
2. Classer ces
quatre solides dans l'ordre croissant de leur volume.
C�ne : aire de base x hauteur / 3 = 3,14 x 32 x3 / 3~28,3 cm3.
Boule : 4/3 p r3 = 4 / 3
x3,14 x23 ~33,5 cm3.
Pyramide : aire de base x hauteur / 3 = 6
x 3 x 6 / 3 =36 cm3.
Cylindre : aire de base x hauteur = 3,14 x 22 x3 ~37,7 cm3.
Exercice 4 : (4
points)
Un fabricant de volets roulants �lectriques r�alise une �tude
statistique pour conna�tre leur fiabilit�. Il fait donc fonctionner un
�chantillon de 500 volets sans s'arr�ter, jusqu'� une panne �ventuelle.
Il inscrit les r�sultats dans le tableur ci-dessous.
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A
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B
|
C
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D
|
E
|
F
|
G
|
H
|
1
|
Nombre
de
mont�e descente
|
entre
0 et 999
|
entre
1000 et 1999
|
entre
2000 et 2999
|
entre
3000 et 3999
|
entre
4000 et 4999
|
Plus
de 5000
|
Total
|
2
|
Nombre
de volets
roulant tomb�s en panne
|
20
|
54
|
137
|
186
|
84
|
19
|
500
|
1. Quelle formule
faut-il saisir dans la cellule H2 du tableur pour obtenir le nombre
total de volets test�s ?
=SOMME(B2:G2)
2. Un employ� prend
au hasard un volet dans cet �chantillon. Quelle est la probabilit� que
ce volet fonctionne plus de 3000 mont�es descentes ?
(186 +84 +19) / 500 = 289 / 500 = 0,578.
3. Le fabricant
juge ses volets fiables si plus de 95 % des volets fonctionnent plus de
1000 mont�es descentes. Ce lot de volets roulants est-il fiable ?
Expliquer votre raisonnement.
(54 +137 +186 +84 +19) / 500 = 0,96 ( 96
%), valeur sup�rieure � 95 %. Ce lot de volets est fiable.
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Exercice
5 : (6 points)
Sarah vient de faire construire une piscine dont la forme est un pav�
droit de 8 m de longueur, 4 m de largeur et 1,80 m de profondeur. Elle
souhaite maintenant remplir sa piscine. Elle y installe donc son tuyau
d'arrosage.
Sarah a remarqu� qu'avec son tuyau d'arrosage, elle peut remplir un
sceau de 10 litres en 18 secondes.
Pour remplir sa piscine, un espace de 20 cm doit �tre laiss� entre la
surface de l’eau et le haut de la piscine.
Faut-il plus ou moins d'une journ�e pour remplir la piscine ? Justifier
votre r�ponse.
Volume d'eau dans la piscine = 8 x 4 x 1,6 = 51,2 m3 = 5,12
104 litres.
Dur�e du remplissage : 5,12 104 x18 / 10 = 92160 s = 1536
min = 25,6 heures.
Il faut plus d'une journ�e pour remplir la piscine.
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Exercice
6 : (9 points)
Pour tracer une � rue �, on a d�fini le trac� d'une � maison �.
1. V�rifier que d
est environ �gal � 71 � l’unit� pr�s.
d est la diagonale d'un carr� de c�t� 50 unit�s. d = 50 x 1,414 ~70,7
~71 unit�s.
2. Un point dans
une fen�tre d’ex�cution de votre programme a son abscisse qui peut
varier de - 240 � 240 et son ordonn�e qui peut varier de -180 � 180.
Quel est le plus grand nombre entier n que l'on peut utiliser dans le
programme principal pour que le trac� de la � rue � tienne dans la
fen�tre de votre ordinateur o� s'ex�cute le programme ?
Vous pourrez tracer sur votre copie tous les sch�mas (� main lev�e ou
non) qui auront permis de r�pondre � la question pr�c�dente et ajouter
toutes les informations utiles (valeurs, codages, traits
suppl�mentaires, noms de points...)
 n=
5.
3. Attention, cette
question est ind�pendante des questions pr�c�dentes et la � maison �
est l�g�rement diff�rente.
Si on d�sire rajouter une sortie de chemin�e au trac� de la maison pour
la rendre plus r�aliste, il faut faire un minimum de calculs pour ne
pas avoir de surprises.
On suppose que : - les points H, E et A sont align�s ; - les points C,
M et A sont align�s ; - [CH] et [EM] sont perpendiculaires � [HA] ; -
AM = 16 ; - MC = 10
Calculer EM, HC et HE afin de pouvoir obtenir une belle sortie de
chemin�e.
sin 30 = EM / AM ; EM = AM sin 30 = 16 x sin 30 = 16 x0,5 = 8.
sin
30 = HC / AC ; HC = AC sin 30 = (16+10) x sin 30 = 26 x0,5 = 13
EA = AM cos 30 = 16 cos 30.
HA
= AC cos 30 = 26 cos 30.
HE = AH-AE = 10 cos 30 ~ 10 x0,866 ~8,66.
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Exercice 7 : (7 points)
Bob doit refaire le carrelage de sa cuisine dont la forme au sol est un
rectangle de 4 m par 5 m.
Il a choisi son carrelage dans un magasin. Le vendeur lui indique qu'il
faut commander 5 % de carrelage en plus pour compenser les pertes dues
aux d�coupes.
Le carrelage choisi se vend dans des paquets permettant de recouvrir
1,12 m2 et chaque paquet co�te 31 €.
1. Montrer que Bob
doit commander au moins 21 m2 de carrelage.
4 x 5 x1,05 = 21 m2.
2. Combien doit-il
acheter de paquets de carrelage ?
21 / 1,12 =18,75 ~19.
3. Quel sera le
co�t de l’achat du carrelage de sa cuisine ?
19 x31 = 589 €.
4. Bob se rend
ensuite dans un autre magasin pour acheter le reste de ses mat�riaux.
Compl�ter la facture suivante.
Mat�riaux
|
Quantit�
|
Montant
unitaire
Hors taxe
|
Montant
total
Hors taxe
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Sceau
de colle
|
3
|
12
€
|
36
€
|
Sachet
de croisillons
|
1
|
7€
|
88-45-36=7 €
|
Sac
de joint de carrelage
|
2
|
45/
2 = 22,5 €
|
45
€
|
|
Total
Hors Taxe
|
88
€
|
TVA
( 20 %)
|
88
x0,20 =17,6 €
|
Total
TTC
|
88
+17,6 =105,6 €
|
..
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