Math�matiques,
Brevet M�tropole 2017.
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Exercice 1 (4 points)
Dans une urne contenant des boules vertes et des boules bleues, on tire
au hasard une boule et on regarde sa couleur. On replace ensuite la
boule dans l’urne et on m�lange les boules. La probabilit�
d’obtenir une boule verte est 2 /5 =0,4.
1) Expliquer
pourquoi la probabilit� d’obtenir une boule bleue est �gale � 3 / 5 =
0,6.
Probabilit� de tirer une boule bleue + Probabilit� de tirer une boule
verte = 1
Probabilit�
de tirer une boule bleue = 1 -0,4 = 0,6 = 3 /5.
2) Paul a effectu�
6 tirages et a obtenu une boule verte � chaque fois. Au 7 e
tirage, aura-t-il plus de chances d’obtenir une boule bleue qu’une
boule verte ?
Probabilit� de tirer une boule bleue = 0,6.
Probabilit� de tirer une boule verte = 0,4.
Au 7 � tirage il aura plus de chance de tirer une boule
bleue.
3) D�terminer le
nombre de boules bleues dans cette urne sachant qu’il y a 8 boules
vertes.
Probabilit� de tirer une boule verte = nombre de boules vertes / nombre
total de boules = 0,4.
Nombre total de boules = 8 / 0,4 = 20.
Nombre de boules bleues = 20 -8 = 12.
Exercice 2 : (6
points)
On
donne le programme suivant qui permet de tracer plusieurs triangles
�quilat�raux de tailles diff�rentes. Ce programme comporte une variable
nomm�e "c�t�". Les longueurs sont donn�es en pixels.
Num�ro
d'instruction
|
Script
|
Le
bloc triangle
|
1
|
effacer
tout
|
d�finir
triangle
|
2
|
aller
� x = -200 et y = -100
|
stylo
en position �criture
|
3
|
s'orienter
� 90� vers le bas
|
r�p�ter
3 fois
|
4
|
mettre
c�t� � 100
|
avancer
de c�t�
|
5
|
r�p�ter
5 fois
|
tourner
de 120� en
sens contraire aiguilles d'une montre
|
6
|
triangle
|
fin
r�p�ter
|
7
|
avancer
de c�t�
|
relever
stylo
|
8
|
ajouter
� c�t� -20
|
|
9
|
fin
r�p�ter
|
|
1) Quelles sont les
coordonn�es du point de d�part du trac� ?
x = -200 ; y = -100.
2) Combien de
triangles sont dessin�s par le script ?
5 triangles.
3) a) Quelle est la
longueur (en pixels) du c�t� du deuxi�me triangle trac� ?
100-20 = 80 pixels.
b) Tracer � main
lev�e l’allure de la figure obtenue quand on ex�cute ce script.
4) On modifie le
script initial pour obtenir la figure ci-contre. Indiquer le num�ro
d’une instruction du script apr�s laquelle on peut placer l’instruction
" tourner de 60� dans le sens inverse des aiguilles d'une montre" pour
obtenir cette nouvelle figure.
L'instruction sera plac�e � la ligne 7 ou � la ligne 8.
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|
....
.....
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Exercice 3 (4 points)
Un condensateur est un composant �lectronique qui permet de stocker de
l’�nergie �lectrique pour la restituer plus tard. Le graphique suivant
montre l’�volution de la tension mesur�e aux bornes d’un condensateur
en fonction du temps lorsqu’il est en charge.
1) S’agit-il d’une situation de proportionnalit� ? Justifier.
Non, la courbe n'est pas une droite passant par l'origine.
2) Quelle est la tension mesur�e au bout de 0,2 s ?
4,4 V.
3) Au bout de
combien de temps la tension aux bornes du condensateur aura-t-elle
atteint 60% de la tension maximale qui est estim�e � 5 V ?
Tension =5 x0,6 = 3 V. Temps = 0,09 s.
Exercice 4 ( 8
points).
Les panneaux photovolta�ques permettent de produire de l’�lectricit� �
partir du rayonnement solaire. Une unit� courante pour mesurer
l’�nergie �lectrique est le kilowatt-heure, abr�g� en kWh.
1) Le plus souvent,
l’�lectricit� produite n’est pas utilis�e directement, mais vendue pour
�tre distribu�e dans le r�seau �lectrique collectif. Le prix d’achat du
kWh, donn� en centimes d’euros, d�pend du type d’installation et de sa
puissance totale, ainsi que de la date d’installation des panneaux
photovolta�ques. Ce prix d’achat du kWh est donn� dans le tableau
ci-dessous.
Tarifs d’un kWh en centimes d’euros.
|
Date d'installation
|
Type
d'installation
|
Puissance
totale
kW
|
Du
1 /1 /15
au 31 / 3 /15
|
Du
1 / 5 /15
au 30 / 6 / 15
|
Du
1 /7 /15
au 31 /9 /15
|
Du
1 /10 /15
au 31 /12 /15
|
Type
A
|
0
� 9
|
26,57
|
26,17
|
25,78
|
25,39
|
Type B
|
0
� 36
|
13,46
|
13,95
|
14,7
|
14,4
|
26
� 100
|
12,79
|
13,25
|
13,96
|
13,68
|
Source : http
://www.developpement-durable.gouv.fr
En mai 2015, on installe une centrale solaire du type B, d’une
puissance de 28 kW.
V�rifier que le prix d’achat de 31 420 kWh est d’environ 4 383 €.
31420 x13,95 /100 ~4383 €.
2. Une personne
souhaite installer des panneaux photovolta�ques sur la partie du toit
de sa maison orient�e au sud. Cette partie est gris�e sur la figure
ci-contre. Elle est appel�e pan sud du toit. La production
d’�lectricit� des panneaux solaires d�pend de l’inclinaison du toit.
D�terminer, au degr� pr�s, l’angle � que forme ce pan sud du toit avec
l’horizontale.
tan � = AC / BC = (7-4,8) / 4,5 ~ 0,489 ; � = 26�.
3) a) Montrer que
la longueur AB est environ �gale � 5 m.
Le triangle ABC est rectangle en C.
AB2 = AC2 +BC2 = 2,22 +4,52
=25,09 ; AB ~5 m.
b) Les panneaux
photovolta�ques ont la forme d’un carr� de 1 m de c�t�. Le propri�taire
pr�voit d’installer 20 panneaux. Quel pourcentage de la surface totale
du pan sud du toit sera alors couvert par les panneaux solaires ? On donnera une valeur
approch�e du r�sultat � 1% pr�s.
Surface du toit : 5 x7,5 =
37,5 m2.
Surface des panneaux : 20 m2.
20 / 37,5 = 0,53 ( 53 %).
c) La notice
d’installation indique que les panneaux doivent �tre accol�s les uns
aux autres et qu’une bordure d’au moins 30 cm de large doit �tre
laiss�e libre pour le syst�me de fixation tout autour de l’ensemble des
panneaux. Le propri�taire peut-il installer les 20 panneaux pr�vus ?
7,5 -0,30 -0,30 = 6,9 m ; 5-0,30 -0,30 = 4,4 m.
On peut installer 6 panneaux sur la longueur et 4 panneaux sur la
largeur soit 6 x4 = 24 panneaux.
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Exercice
5 : (8 points)
1) Lors des Jeux
Olympiques de Rio en 2016, la danoise Pernille Blume a remport� le 50 m
nage libre en 24,07 secondes.
A-t-elle nag� plus rapidement qu’une personne qui se d�place en
marchant vite, c’est-�-dire � 6 km/h ?
50 / 24,07 = 2,077 m /s soit 2,077 x3,6 ~7,5 km /h.
Elle a nag� plus vite que la personne marchant vite.
2) On donne
l’expression E = (3x + 8)2 − 64.
a) D�velopper E.
E = 9 x2+64 +48x-64=9x2+48x.
b) Montrer que E
peut s’�crire sous forme factoris�e : 3x(3x + 16)
Mettre 3x en facteur commun : 3x(3x+16).
c) R�soudre
l’�quation (3x + 8)2 − 64 = 0.
Il suffit que l'un des facteurs soit nul.
3x = 0 soit x = 0 ; 3x+16 = 0
soit x = -16 / 3.
3) La distance d de
freinage d’un v�hicule d�pend de sa vitesse et de l’�tat de la route.
On peut la calculer � l’aide de la formule suivante :
d = k � V 2 avec d : distance de freinage en m V : vitesse
du v�hicule en m/s
k : coefficient d�pendant de l’�tat de la route
k=0,14 sur route mouill�e
k=0,08 sur route s�che.
Quelle est la vitesse d’un v�hicule dont la distance de freinage sur
route mouill�e est �gale � 15 m?
d = 0,14 V2 = 15 ; V2
= 15 / 0,14 ~107,14 ; V ~10,35 m /s.
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Exercice
6 : (8 points)
Le surpoids est devenu un probl�me majeur de sant�, celui-ci pr�dispose
� beaucoup de maladies et diminue l’esp�rance de vie.
L’indice le plus couramment utilis� est celui de masse corporelle (IMC).
L’IMC est une grandeur internationale permettant de d�terminer la
corpulence d’une personne adulte entre 18 ans et 65 ans.
Il se calcule avec la formule suivante : IMC= masse / taille2
avec � masse � en kg et � taille � en m .
Normes : 18,5 ≤ IMC < 25 corpulence normale
25 ≤ IMC < 30 surpoids
IMC ≥ 30 ob�sit�.
1) Dans une
entreprise, lors d’une visite m�dicale, un m�decin calcule l’IMC de six
des employ�s.
Il utilise pour cela une feuille de tableur dont voici un extrait :
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
G
|
1
|
Taille
(m)
|
1,69
|
1,72
|
1,75
|
1,78
|
1,86
|
1,88
|
2
|
Masse
(kg)
|
72
|
85
|
74
|
70
|
115
|
85
|
3
|
IMC
|
25,7
|
28,7
|
24,2
|
22,1
|
33,2
|
24
|
a) Combien d’employ�s sont en
situation de surpoids ou d’ob�sit� dans cette entreprise ?
Trois personnes ont une IMC sup�rieure ou �gale � 25.
b) Laquelle de ces
formules a-t-on �crite dans la cellule B3, puis recopi�e � droite, pour
calculer l’IMC?
= 72/1.69ˆ2 ;
= B1/(B2∗B2) ; = B2/(B1∗B1) ; = $B2/($B1∗$B1)
2) Le m�decin a
fait le bilan de l’IMC de chacun des 41 employ�s de cette entreprise.
Il a report� les informations recueillies dans le tableau suivant dans
lequel les IMC ont �t� arrondis � l’unit� pr�s.
IMC
|
20
|
22
|
23
|
24
|
25
|
29
|
30
|
33
|
Total
|
Effectif
|
9
|
12
|
6
|
8
|
2
|
1
|
1
|
2
|
41
|
a) Calculer une valeur approch�e,
arrondie � l’entier pr�s, de l’IMC moyen des employ�s de cette
entreprise.
(20 x9 +22 x12 +23 x6 +24 x8 +25 x2 +29 +30 +33 x2) / 41 = 949 / 41 ~23.
b) Quel est l’IMC
m�dian ? Interpr�ter ce r�sultat.
41/2 =20,5 ~21. L'IMC m�dian est la 21� valeur soit 22.
La moiti� des personnes ont une IMC inf�rieure ou �gale � 22.
c) On lit sur
certains magazines : � On estime qu’au moins 5% de la population
mondiale est en surpoids ou est ob�se �. Est-ce le cas pour les
employ�s de cette entreprise ?
6 personnes sur 41 ont une IMC > 25 soit 6 / 41 = 0,146
( 14,6 %), valeur sup�rieure �
5 %.
C'est le cas pour cette ntreprise.
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Exercice 7 : (7 points)
L�o a ramass� des fraises pour faire de la confiture.
1) Il utilise les
proportions de sa grand-m�re : 700 g de sucre pour 1 kg de fraises.
Il a ramass� 1,8 kg de fraises. De quelle quantit� de sucre a-t-il
besoin ?
1,8 x0,700 = 1,26 kg.
2) Apr�s cuisson,
L�o a obtenu 2,7 litres de confiture.
Il verse la confiture dans des pots cylindriques de 6 cm de diam�tre et
de 12 cm de haut, qu’il remplit jusqu’� 1 cm du bord sup�rieur.
Combien pourra-t-il remplir de pots ?
Rappels : 1 litre = 1000 cm3 Volume d’un cylindre = p� R2 � h.
Volume de confiture dans u pot : 3,14 x32x11 ~311 cm3.
Il peut remplir 2700 / 311 ~8,7 pots.
8 pots seront remplis et un pot le sera en partie.
3) Il colle ensuite
sur ses pots une �tiquette rectangulaire de fond blanc qui recouvre
toute la surface lat�rale du pot.
a) Montrer que la
longueur de l’�tiquette est d’environ 18,8 cm.
2 p R = 2 x 3,14
x3 ~18,8 cm.
b) Dessiner
l’�tiquette � l’�chelle 1 /3.3
Longueur : 18,8 / 3 ~6,3 cm ; largeur : 12 /3 = 4 cm.
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