Math�matiques,
Diplome national du brevet, M�tropole septembre 2017.
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Probabilit�s. 6 points.
Un
sac opaque contient 120 boules toutes indiscernables au toucher, dont
30 sont bleues. Les autres boules sont rouges ou vertes.
On consid�re l’exp�rience al�atoire suivante :
On tire une boule au hasard, on regarde sa couleur, on repose la boule
dans le sac et on m�lange.
1. Quelle est la
probabilit� de tirer une boule bleue ? �crire le r�sultat sous la forme
d’une fraction irr�ductible.
30 boules bleues sur 120 boules. La probabilit� de tirer une boule
bleue est �gale � : 30 / 120 = 3 / 12 = 1 /4.
2. C�cile a
effectu� 20 fois cette exp�rience al�atoire et elle a
obtenu 8 fois une boule verte. Choisir, parmi les r�ponses suivantes,
le nombre de boules vertes contenues dans le sac (aucune justification
n’est demand�e) :
a. 48 ; b. 70 ; c. On ne peut pas
savoir ; d. 25.
C�cile tire une boule et la remet dans le sac ; elle peut tirer
plusieurs fois la m�me boule verte. On ne peut pas conna�tre le nombre
de boules vertes.
3. La probabilit�
de tirer une boule rouge est �gale � 0,4.
a. Quel est le
nombre de boules rouges dans le sac ?
0,4 = nombre de boules rouges / 120 ; nombre de boules rouges = 120
x0,4 = 48.
b. Quelle est la
probabilit� de tirer une boule verte ?
Le sac contient 30 bleues et 48 rouges ; il contient donc 120 -30-48
=42 boules vertes.
Probabilit� de tirer une boule verte : 42 / 120 = 7 / 20 = 0,35.
Thal�s, Pythagore.
7 points.
La figure ci-dessous a �t� faite � la main.
Les points D, F, A et B sont align�s, ainsi que les points E, G, A et C.
De plus, les droites (DE) et (FG) sont parall�les.
1. Montrer que le
triangle AFG est un triangle rectangle.
AF 2 = 5 2 = 25 ; FG 2 +AG 2 =
3 2 +4 2 = 25.
AF2 =FG2 +AG2 ;
d'apr�s la r�ciproque du th�or�me de Pythagore, le triangle AFG est
rectangle en G.
2. Calculer la
longueur du segment [AD]. En d�duire la longueur du segment [FD].
[FD]=[AD]-[AF]=13,5 -5 = 8,5 cm.
3. Les droites (FG)
et (BC) sont-elles parall�les ? Justifier.
R�ciproque du th�or�me de Thal�s.
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Exercice 3.
6 points.
Voici trois figures diff�rentes, aucune n’est � l’�chelle indiqu�e dans
l’exercice.
Le programme ci-dessous contient une
variable nomm�e � longueur �.
Quand
le drapeau est cliqu�
Cacher
Aller � x=0 ; y=0
S'orienter � 90� vers la droite.
Mettre longueur � 30.
Effacer tout.
Mettre la taille du stylo � 3.
Stylo en position �criture.
R�p�ter deux fois.
un tour
ajouter � longueur 30
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Le
bloc : un tour
D�finir un tour
R�p�ter deux fois
Avancer de longueur
Tourner de 90� dans le sens
anti-horaire.
Fin r�p�ter.
Ajouter � longueur 30.
R�p�ter deux fois.
Avancer de
longueur.
Tourner de 90� dans le sens anti-horaire.
Fin r�p�ter
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1. a.
Dessiner la figure obtenue avec le bloc � un tour � donn� dans le cadre
de droite ci-dessus, pour une longueur de d�part �gale � 30, �tant
orient� vers la droite avec le stylo, en d�but de trac�. On prendra 1
cm pour 30 unit�s de longueur, c’est-�-dire 30 pixels.
b. Comment est-on
orient� avec le stylo apr�s ce trac� ? (aucune justification n’est
demand�e)
Le stylo est orient� vers la droite.
2. Laquelle des
figures 1 ou 3 le programme ci-dessus permet-il d’obtenir ? Justifier
votre r�ponse.
La figure de gauche ne correspond pas, car les deux premiers segments
n'ont pas la m�me longueur.
La figure centrale ne convient pas, la rotation est de 45� et non pas
de 90�.
La figure de droite convient : on a deux segments de longueur 30, puis
deux de longueur 60, puis deux de longueur 90 et enfin deux de longueur
120.
3. Quelle
modification faut-il apporter au bloc � un tour � pour obtenir la
figure du centre ci-dessus ?
Il faut effectuer une rotation de 45� dans le sens anti-horaire � la
place d'une rotation de 90�.
Exercice 4. 9
points.
Monsieur Chapuis souhaite changer le carrelage et les plinthes(*) dans
le salon de son appartement. Pour cela il doit acheter des carreaux, de
la colle et des plinthes en bois qui seront clou�es. Il dispose des
documents suivants :
Document 1 : plan , la
pi�ce correspond � la partie gris�e.
1. a. En remarquant que
la longueur GD est �gale � 7 m, d�terminer l’aire du triangle BCH.
BH x HC / 2 = 3 x2 / 2 = 3 m2.
b. Montrer que l’aire de la pi�ce
est 32 m2.
Aire du rectangle AHDG - aire du triangle BCH= 7 x5 -3 =32 m2.
2. Pour ne pas manquer de carrelage
ni de colle, le vendeur conseille �
monsieur Chapuis de pr�voir une aire sup�rieure de 10 % � l’aire
calcul�e � la question 1.
Monsieur Chapuis doit
acheter des bo�tes enti�res et des sacs entiers.
D�terminer le nombre de
bo�tes de carrelage et le nombre de sacs de colle � acheter.
32 x1,1 =35,2 m2.
Un sac de colle permet de coller 4 m2, il faut donc 9 sacs.
Une bo�te de carreaux permet de couvrir 1,25 m2, donc il
faut 35,2 / 1,25 ~28 bo�tes.
3. Le vendeur recommande aussi de
prendre une marge de 10% sur la
longueur des plinthes. D�terminer le nombre total de plinthes que
monsieur Chapuis doit acheter pour faire le tour de la pi�ce. On
pr�cise qu’il n’y a pas de plinthe sur la porte.
BC2 =BH2 + HC2 =32+22=13
; BC ~3,6 m.
Longueur des plintes :5 +1 +5 +4 +3 +3,6 = 21,6 m.
Puis prendre en compte la marge : 21,6 x1,1 ~23,8 m.
Longueur d'une plinthe : 1m ; il faut donc 24 plinthes.
4. Quel est le montant de la d�pense
de monsieur Chapuis, sachant qu’il
peut se contenter d’un paquet de clous ? Arrondir la r�ponse � l’euro
pr�s.
Carrelage 19,95 € la bo�te soit 19,95 x28 =558,6 €
Colle, 22 € le sac soit 22 x9 = 198 €.
Plinthe, 2,95 € le m�tre, soit 2,95 x24 =70,8 €.
Clous, 5,50 €.
Total : 832,9 €.
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Exercice 5. 5 points
Pour chaque affirmation, dire en justifiant, si elle est vraie ou
fausse.
Affirmation 1
:
Le r�sultat du programme de calcul suivant est toujours �gal � 6. Vrai.
Choisir un nombre
Ajouter 3
Multiplier le r�sultat par 2
Soustraire le double du nombre de d�part.
Soit N le nombre choisi.
(N+3 )x2 -2N = 2N+6-2N = 6.
Affirmation 2
: Le r�sultat du calcul suivant est �gal � 1 / 5 . Faux.
Affirmation 3
: La solution de l’�quation 4x−5 = x+1 est une solution de l’�quation x2-2x=0. Vrai.
4x-x =1+5 ; 3x = 6 ; x = 2.
x2-2x=0 ; x ( x-2)=0, solution z�ro et 2.
Affirmation 4
: Pour tous les nombres entiers n compris entre 2 et 9, 2n−1 est un
nombre premier. Faux.
n= 2 ; 2n-1 = 3 ; n=3 ; 2n-1 = 5 ; n = 4 ; 2n-1 = 15, ce nombre n'est
pas premier ( 15 est divisible par 3 et 5).
Exercice 6. 5
points.
Dans
une station de ski, les responsables doivent enneiger la piste de
slalom avec de la neige artificielle. La neige artificielle est
produite � l’aide de canons � neige. La piste est mod�lis�e par un
rectangle dont la largeur est 25 m et la longueur est 480 m.
Chaque canon � neige utilise 1 m3 d’eau pour produire 2 m3
de neige.
D�bit de production de neige : 30 m3 par heure et par canon.
1. Pour pr�parer
correctement la piste de slalom, on souhaite produire une couche de
neige artificielle de 40 cm d’�paisseur.
Quel volume de neige doit-on produire ? Quel sera le volume d’eau
utilis� ?
Volume de neige : 25 x 480 x 0,40 =4800
m3 soit 2400 m3
d'eau.
2. Sur cette piste
de ski, il y a 7 canons � neige qui produisent tous le m�me volume de
neige.
D�terminer la dur�e n�cessaire de fonctionnement des canons � neige
pour produire les 4 800 m3 de neige souhait�s. Donner le
r�sultat � l’heure pr�s.
Chaque canon produit 4800 / 7~686 m3 de neige.
Dur�e : 686 / 30 ~23 heures.
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Exercice
7. 7 points.
Les l�gionelles sont des
bact�ries pr�sentes dans l’eau potable. Lorsque la temp�rature de l’eau
est comprise entre 30�C et
45�C, ces bact�ries prolif�rent et peuvent atteindre, en 2 ou 3 jours,
des concentrations dangereuses
pour l’homme.
On rappelle que � μm �
est l’abr�viation de microm�tre. Un microm�tre est �gal � un
millioni�me de m�tre.
1. La taille d’une bact�rie
l�gionelle est 0,8 �m.
Exprimer cette taille en
m et donner le r�sultat sous la forme d’une �criture scientifique.
0,8 x 10-6 = 8 x10-7 m.
2. Lorsque la temp�rature de l’eau
est 37�C, cette population de bact�ries l�gionelles double tous les
quarts d’heure.
Une population de 100
bact�ries l�gionelles est plac�e dans ces conditions.
On a cr�� la feuille de
calcul suivante qui permet de donner le nombre de bact�ries l�gionelles
en fonction du nombre de
quarts d’heure �coul�s :
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A
|
B
|
1
|
Nombre
de quart d'heure
|
Nombre
de bact�ries
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2
|
0
|
100
|
3
|
1
|
200
|
4
|
2
|
400
|
5
|
3
|
800
|
6
|
4
|
1600
|
7
|
5
|
3200
|
8
|
6
|
6400
|
9
|
7
|
12800
|
a. Dans la cellule
B3, on veut saisir une formule que l’on pourra �tirer vers le bas dans
la colonne B pour calculer le nombre de bact�ries l�gionelles
correspondant au nombre de quarts d’heure
�coul�s. Quelle est cette formule ?
=B2*2
b. Quel est le
nombre de bact�ries l�gionelles au bout d’une heure ?
100 x 23 = 800.
c. Le nombre de
bact�ries l�gionelles est-il proportionnel au temps �coul� ?
Non, le nombre de bact�ries est �gal � 100 x2n-1, avec n le
nombre de quart d'heure. Cette relation n'est pas lin�aire.
D'apr�s le tableau, le nombre de bact�ries n'est pas proportionnel au
nombre de quart d'heure.
d. Apr�s combien de
quarts d’heure cette population d�passe-t-elle dix mille bact�ries
l�gionelles ?
Voir tableau ci-dessus.
3. On souhaite
tester l’efficacit� d’un antibiotique pour lutter contre la bact�rie
l�gionelle. On introduit l’antibiotique dans un r�cipient qui contient
104 bact�ries l�gionelles au temps t = 0. La repr�sentation
graphique
suivante, donne le nombre de bact�ries dans le r�cipient en fonction du
temps.
a. Au bout de 3
heures, combien reste-t-il environ de bact�ries l�gionelles dans le
r�cipient ?
b. Au bout de
combien de temps environ reste-t-il 6000 bact�ries l�gionelles dans le
r�cipient ?
c. On estime qu’un
antibiotique sera efficace sur l’�tre humain s’il parvient � r�duire de
80% le nombre initial de bact�ries dans le r�cipient en moins de 5
heures.
En s’aidant du graphique, �tudier l’efficacit� de l’antibiotique test�
sur l’�tre humain.
Il doit rester 104
x0,2 = 2 103 bact�ries au bout de 5 heures pour un
antibiotique efficace.
D'apr�s le graphe il reste plus de 2000 bact�ries au bout de 5 heures.
Cet antibiotique manque d'efficacit�.
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