G�om�trie, mesure
d'angle, Thal�s, Phytagore, brevet 2013.
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres
d’int�r�ts.
|
|
|
|
|
|
|
(sujet
2013)
Trois figures cod�es sont donn�es ci-dessous. Elles ne sont pas
dessin�es en vraie grandeur.
Pour chacune d’elles, d�terminer la mesure
de l’angle ABC.
sin ABC = AC / BC = 3 / 6 = 0,5 ; l'angle ABC mesure 30�.
Le triangle ABC, inscrit dans un cercle de diam�tre AB est rectangle en
C. L'angle ABC est le compl�mentaire de l'angle CAB. l'angle ABC mesure
90-59 = 31�.
Le
pentagone est inscrit dans un cercle. L'angle au centre AOB mesure
360/5 = 72 �.
Le triangle AOB est isoc�le. L'angle ABO mesure : �(180-72) =54�.
L'angle ABC mesure : 2*54 = 108 �.
|
| .
. |
|
|
Pascal
souhaite d�terminer la hauteur d'un c�ne de sel de diam�tre 5 m�tres.
Il poss�de un b�ton de longueur 1 m�tre. Il effectue des mesures et
r�alise le sch�ma ci-dessous :
D�montrer que la
hauteur de ce c�ne de sel est �gale � 2,50 m�tres.
Relation de Thal�s dans les triangles ABC et AOS : AB / AO = BC / OS.
Soit OS = BC * AO / AB =1*(3,2+2,3+2,5) / 3,2 = 2,50 m.
A l’aide de la formule V=1/3 pR2H,
d�terminer,
en m3, le volume de sel
contenu dans ce c�ne. Arrondir le r�sultat au m3 pr�s.
V = 3,14 / 3 * 2,52*2,5=16,36 ~16 m3.
Le sel est ensuite stock� dans un entrep�t sous la forme de c�nes de
volume 1 000 m3. Par mesure de s�curit�, la hauteur d'un tel
c�ne de sel ne doit pas d�passer 6 m�tres. Quel rayon faut-il
pr�voir au minimum pour la base ? Arrondir le r�sultat au
d�cim�tre pr�s
R2 = 3 V / (pH) =
3000/(3,14*6)=159,155 m2 ;
prendre la racine car�e : R ~ 12,6 m.
|
.
|
|
Moana
a d'abord pos� sur le sol, � partir du cocotier, des noix de coco
r�guli�rement espac�es � chacun de ses pas, puis il i'est ensuite plac�
exactement comme indiqu� sur le croquis, au niveau dela7" noix de coco.
Moana mesure 1,8 m et fait 111 pas pour parcourir 100 m.
Calcule
la hauteur H du cocotier.
Relation de Thal�s : H/1,8 = 10 / 7 ; H = 18/7 =2,57 m.
La ville BONVIVRE poss�de une plaine de jeux bord�e d’une piste
cyclable. La piste cyclable a la forme d’un rectangle ABCD dont on a �
enlev� trois des coins �. Le chemin de G � H est un arc de cercle ; les
chemins de E � F et de I � J sont des segments. Les droites (EF) et
(AC) sont parall�les.
Quelle
est la longueur de la piste cyclable ? Justifier la r�ponse.
L= AE + EF +FG+arc GH +HI +IJ +IA.
AE = 288-48 = 240 m ;
Pythagore dans le triangle rectangle ABC : BC2 +AB2
= AC2 ; BC2 = AC2 -AB2 =3122-2882
= 14400 ; BC =120 m.
Thal�s dans les triangles EBF et ABC : EB / AB = BF / BC ; BF = EB *BC
/ AB = 48*120 / 288=20 m.
Phytagore dans le triangle rectangle EBF : EF2 = BE2
+ BF2 = 482 +202 =2704 ; EF = 52 m.
Rayon de l'arc de cercle GH : R =BC-BF-EG = 120-20-52=48 m ; longueur
de cet arc : pR/2 = 75,4 m.
IH = AB-DI-HC =288-29-48=211 m.
Phytagore dans le triangle
rectangle DIJ : IJ2 = DJ2 + DI2 = 722
+292 =6025 ; IJ = 77,6 m.
AI = BC-DJ = 120-72 = 48 m.
L = 240 + 52 + 52 +75,4 + 211 + 77,6 + 48 = 756 m.
|
Construis
un triangle ABC rectangle en C tel que AB : 10 cm et AC : 8 cm.
Calcule
la longueur BC.
Phytagore dans le triangle rectangle ABC : AB2 = AC2
+ BC2 ; BC2
= AB2 - AC2 = 102-82 =36 ; BC
= 6 cm.
Place le point M de
I'hypot�nuse [AB] tel que AM = 2 cm. Trace la perpendiculaire � [AC]
passant par M. Elle coupe [AC] en E.
Trace la perpendiculaire � [BC] passant par M. Elle coupe [BC] en F.
Comment
prouver que le quadriiat�re MFCE est un rectangle.
L'angle C est droit ; ME est perpendiculaire � AC : l'angle E est droit.
MF est perpendiculaire � BC : l'angle F est droit.
Si un quadrilat�re a 3 angles droits alors c'est un rectangle.
On consid�re un triangle ABC isoc�le en A tel que l’angle� BAC mesure
50� et AB est �gal � 5 cm. On note O le centre du cercle circonscrit au
triangle ABC. La droite (OA) coupe ce cercle,
not� (C), en un autre point M.
Quelle
est la mesure de l’angle �BAM ?
Le centre du cercle circonscrit est le point de concours des
m�diatrices. La droite AM est la m�diatrice de [BC], c'est donc
un axe de sym�trie de la figure. par suite l'angle BAM mesure la moiti�
de l'angle BAC, c'est � dire 25�.
Quelle
est la nature du triangle BAM ? Justifier.
AM est un diam�tre du cercle ; le triangle BAM est inscrit dans un
demi-cercle. Le triangle BAM est rectangle en B.
Calculer
la longueur AM et en donner un arrondi au dixi�me de centim�tre pr�s.
Dans le triangle rectangle BAM : cos 25 = AB / AM ; AM = AB / cos 25 =
5 / cos 25 = 5,5 cm.
La droite (BO) coupe le cercle (C) en un autre point K. Quelle est la mesure
de l’angle �BKC ? Justifier.
Les angles BAC et BKC sont inscrits et interceptent le m�me arc de
cercle BMC. Ces deux angles ont donc la m�me mesure, 50�.
BCDE est un carr� de 6 cm de c�t�. Les points A, B et C sont
align�s et AB = 3 cm.
F est un point du segment [CD]. La droite (AF) coupe le segment [BE]
enM.
 La figure n'est pas � l'�chelle.
D�terminer
la longueur CF par calcul ou par construction pour que les longueurs
BMet FD soient �gales.
Thal�s dans les triangles ACF et ABM : AC / AB =3= CF / BM = (CD-FD) /
BM.
3 BM =CD-FD =
6-BM ; 4 BM = 6 ; BM = 1,5 cm.
|
.
|
