G�om�trie :
calculs d'aire et de volume, brevet 2013.
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres
d’int�r�ts.
|
|
|
|
|
|
|
(sujet
2013)
Sur un parking, une commune veut regrouper 6 conteneurs � d�chets du
m�me mod�le A ou B.
Les deux mod�les sont fabriqu�s dans le m�me mat�riau qui a partout la
m�me �paisseur.
- le conteneur A est un pav� droit � base carr�e de c�t� a=1 m, et de
hauteur h=2 m
- le conteneur B est constitu� de deux demi-sph�res de rayon r=0,58 m
et d'un cylindre de m�me rayon et de hauteur H=1,15 m
V�rifie
que les 2 conteneurs ont pratiquement le m�me volume.
VA = aire de base fois hauteur = a2h = 12*2
= 2 m3.
VB = aire cylindre + aire sph�re = pr2H + 4/3 pr3.
VB
=3,14*0,582*1,15 +4/3*3,14*0,583 =2 m3.
Quels peuvent �tre
les avantages du conteneur A ?
Le conteneur A tient mieux sur le sol, alors que B peut basculer. Par
contre A est trop haut et donc difficile d'acc�s.
On souhaite savoir quel est le conteneur le plus �conomique � fabriquer.
Calcule
I'aire totale des 6 faces du conteneur A.
A = 2a2 + 4ah =2+4*1*2 = 10 m2.
V�rifie
que, pour le conteneur B, l'aire totale, arrondie � 0,1 m2 pr�s, est
8,4 m2.
aire d'une sph�re + aire lat�rale du cylindre = 4pr2 +2prH =4*3,14*0,582 +
2*3,14*0,58*1,15 =8,4 m2.
Quel est le
conteneur le plus �conomique � fabriquer ? Justifie ta r�ponse.
Il faut moins de mati�re pour fabriquer le conteneur B : ce dernier est
donc le plus �conomique.
|
| .
. |
|
|
Pascal
souhaite d�terminer la hauteur d'un c�ne de sel de diam�tre 5 m�tres.
Il poss�de un b�ton de longueur 1 m�tre. Il effectue des mesures et
r�alise le sch�ma ci-dessous :
D�montrer que la
hauteur de ce c�ne de sel est �gale � 2,50 m�tres.
Relation de Thal�s dans les triangles ABC et AOS : AB / AO = BC / OS.
Soit OS = BC * AO / AB =1*(3,2+2,3+2,5) / 3,2 = 2,50 m.
A l’aide de la formule V=1/3 pR2H,
d�terminer,
en m3, le volume de sel
contenu dans ce c�ne. Arrondir le r�sultat au m3 pr�s.
V = 3,14 / 3 * 2,52*2,5=16,36 ~16 m3.
Le sel est ensuite stock� dans un entrep�t sous la forme de c�nes de
volume 1 000 m3. Par mesure de s�curit�, la hauteur d'un tel
c�ne de sel ne doit pas d�passer 6 m�tres. Quel rayon faut-il
pr�voir au minimum pour la base ? Arrondir le r�sultat au
d�cim�tre pr�s
R2 = 3 V / (pH) =
3000/(3,14*6)=159,155 m2 ;
prendre la racine car�e : R ~ 12,6 m.
|
.
|
|
Un moule � muffins(2) est
constitu� de 9 cavit�s. Toutes les cavit�s sont identiques. Chaque
cavit� a la forme d’un tronc de c�ne (c�ne coup� par un plan parall�le
� sa base) repr�sent�
ci-dessous. Les dimensions sont indiqu�es sur la figure.
Montrer
que le volume d’une cavit� est d’environ 125 cm3.
Volume du grand c�ne de hauteur H =12 cm et de rayon R = 3,75 cm : V=1/3 pR2H
=3,14/3*3,752*12=176,7 cm3.
Hauteur du petit c�ne h = 12-4=8 cm. Rayon r du petit c�ne :
la relation de Thal�s conduit � : R/r = H/h ; r = Rh/H = 3,75*8/12=2,5
cm.
Volume du petit c�ne de
hauteur h =8 cm et de rayon r = 2,5 cm : V=1/3 pr2h
=3,14/3*2,52*8=52,4 cm3.
Puis : 176,7 -52,4 = 124,3 ~125 cm3.
L�a a
pr�par� 1 litre de p�te. Elle veut remplir chaque cavit� du moule au
3/4 de son volume.
A-t-elle
suffisamment de p�te pour les 9 cavit�s du moule ? Justifier la r�ponse.
Volume de p�te par cavit� : 125*3/4 =93,75 cm3 ;
volume des 9 cavit�s : 9*93,75 ~844 cm3.
Elle dispose de 1 L = 1000 cm3 de p�te, cela est bien
suffisant pour le remplissage.
On
dispose d'un carr� de m�tal de 40 cm de c�t�. Pour fabriquer cette
bo�te parall�l�pip�dique, on enl�ve � chaque coin un carr� de c�t� x et
on rel�ve les bords par pliage.
Quelles
sont les valeurs possibles de x ?
x doit �tre inf�rieur � 20 cm..
Calculer
le volume de la bo�te pour x = 5 cm.
Aire de la base, carr� de 30 cm de c�t� : 30*30 = 900 cm2.
Hauteur H = 5 cm ; volume de la bo�te : 900*5 = 4500 cm3.
Le graphe suivant donne le volume de la bo�te en fonction de x.
Pour
quelle valeur de x, le volume est-il maximum ? Quelles sont les
valeurs possibles de x si le volume est 2000 cm3 ?
|
ABCD est
un trap�ze et les longueurs sont donn�es en cm.
Donner
une m�thode permettant de calculer l'aire du trap�ze et la calculer.
Aire du trap�ze =Aire du rectangle CDFE-aires des triangle rectangle
FAD et BEC.
A = 7*3 -0,5*1*3-0,5*3*3 =15 cm2.
L'aire d'un trap�ze est donn�e par l'une des formules suivantes.
Retrouver la formule
en justifiant.
Aire du trap�ze
=Aire du rectangle CDFE-aires des triangle rectangle FAD et BEC.
A = B h -0,5 AF*h-0,5BE*h = h( B-0,5(AF+BE).
Or AF+BE= B-b ; par suite : A = h ( B-0,5 B+0,5b) =
0,5 h(B+b).
|
.
|
