G�om�trie, Pythagore, Thal�s, trigonom�trie, brevet 2013

G�om�trie, Pythagore, Thal�s, trigonom�trie, brevet 2013.

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(sujet 2013)
Sur le dessin ci-dessous, les points A, B et E sont align�s, et C le milieu de [BD].

Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
AC² =25 ; AB²+BC² =16+9=25 ; donc AC² =AB²+BC².
Le triangle ABC est rectangle en B.
En d�duire la nature du triangle BDE.
Le triangle BDE est rectangle en B
Calculer ED. Arrondir le r�sultat au dixi�me.
DE² =BE²+BD² = 49+36=85 ; DE ~9,2 cm.

En se retournant lors d’une marche arri�re, le conducteur d’une camionnette voit le sol � 6 m�tres derri�re son camion.
Sur le sch�ma, la zone gris�e correspond � ce que le conducteur ne voit pas lorsqu’il regarde en arri�re.

Calculer DC.
Les triangles EAC et DBC ont des c�t�s dont les mesures sont proportionnelles.
EC / CD = AE / BD ; CD = EC*BD / AE = 6*1,10 / 1,50 = 4,4 cm.
En d�duire que ED = 1,60 m.
ED = EC-DE =6-4,4 = 1,6 m.
Une fillette mesure 1,10 m. Elle passe � 1,40 m derri�re la camionnette. Le conducteur peut-il la voir ? Expliquer.
BD = 1,10 m ( hauteur de la filette) ; ED = 1,6 m, la filette de hauteur 1,10 m passe entre E et D, elle se trouve donc dans la zone gris�e et le chauffeur ne la voit pas.

On souhaite construire une structure pour un skatepark, constitu�e d’un escalier de six marches identiques permettant d’acc�der � un plan inclin� dont la hauteur est �gale � 96 cm. Le projet de cette structure est pr�sent� ci-dessous.

Normes de construction de l’escalier :
60 <= 2h + p <= 65 o� h est la hauteur d’une marche et p la profondeur d’une marche, en cm.
Demandes des habitu�s du skate park :
Longueur du plan inclin� (c’est-�-dire la longueur AD) comprise entre 2,20 m et 2,50 m.
Angle form� par le plan inclin� avec le sol (ici l’angle� BDA) compris entre 20� et 30�.
Les normes de construction de l’escalier sont-elles respect�es ?
6 h = 96 ; h = 96 / 6 = 16 cm ; 55 = 5 p ; p = 11 cm ; 2h+p = 43 cm.
Les normes de construction de l'escalier ne sont pas respect�es.
Les demandes des habitu�s du skatepark pour le plan inclin� sont-elles satisfaites ?
tan (BDA = AB / (BC+CD) =96 / (55+150)=0,468. L'angle BDA mesure 25�.
sin 25 = AB / AD ; AD = AB / sin 25 = 96 / sin 25 =227 cm = 2,27 m.
Les demandes concernant le plan inclin�e sont satisfaites.

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La figure ci-dessous repr�sente un trap�ze rectangle ABCD tel que :
AB = 12 cm; CD = 9 cm; BC = 5cm.

H est le pied de la hauteur issue de C.
Montrer que HB = 3 cm.
CD=AH=9 ccm ; HB=AB -AH = 12-9 = 3 cm.
Calculer CH.
BC² =CH²+HB² ; CH²= BC² -HB²=25-9=16 ; CH = 4 cm.
D�duire que le p�rim�tre de ABCD est �gal � 30 cm.
AB +BC +CD +DA = 12 + 5 +9 +4 =30 cm.
Calculer la mesure de l’angle� ABC au degr� pr�s.
tan ABC =CH / BH =4 / 3 = 1,33. L'angle ABC mesure 53�.
La parall�le � (AC) passant par H coupe la droite (BC) en M. Calculer BM.
Les triangles BHM et BAC ont des c�t�s dont les mesures sont proportionnelles.
BM / BC =BH / AB ; BM = BH*BC / AB = 3*5 /12 =1,25 cm.

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Un apr�s-midi, Juliette observe son poisson Rom�o en se pla�ant au dessus de son aquarium de forme sph�rique. Elle remarque le dr�le de man�ge de son poisson nageant � la surface :
• il part d’une paroi de l’aquarium et nage 12 cm avant d’atteindre � nouveau la paroi,
• il change alors de direction et nage encore 5 cm avant d’atteindre � nouveau la paroi se trouvant alors en un point diam�tralement oppos� � son point de d�part,
• il rejoint directement son point de d�part.
Le poisson effectue chaque d�placement en ligne droite.
Repr�senter le d�placement de Rom�o � la surface de l’eau, vu de dessus.

Quelle est la nature de la figure parcourue par Rom�o ? Justifier.
B et C sont diam�tralement oppos�s : BC est un diam�tre du cercle.
Le triangle ABC est inscrit dans un demi-cercle : ce triangle est rectangle en A.
Calculer la distance totale parcourue par Rom�o.
BC² =AB²+AC²=12²-5²=169 ; BC = 13 cm.
Distance parcourue : 12+5+13 = 30 cm.

Jean-Michel est propri�taire d’un champ, repr�sent� par le triangle ABC ci-dessous. Il ach�te � son voisin le champ adjacent, repr�sent� par le triangle ADC. On obtient ainsi un nouveau champ form� par le quadrilat�re ABCD. Jean Michel sait que le p�rim�tre de son champ ABC est de 154 m�tres et que BC = 56 m.
Son voisin l’informe que le p�rim�tre du champ ADC est de 144 m�tres et que AC = 65 m. De plus, il sait que AD = 16 m.

Justifier que les longueurs AB et DC sont respectivement �gales � 33 m et 63 m.
AB +BC +AC = 154 ; AB = 154-BC-AC =154-56-65 =33 m.
AD +DC +CA = 144 m ; DC =144-DA-CA =144-16-65=63 m.
Calculer le p�rim�tre du champ ABCD.
AB + BC +CD +DA = 33 +56 +63 +16 =168 m.
D�montrer que le triangle ADC est rectangle en D.
AC² =65² =4225 ; AD²+CD²=16² +63² =256+3969=4225.
AC² =AD²+CD² ; le riangle ADC est rectangle en D.
On admet que le triangle ABC est rectangle en B. Calculer l’aire du champ ABCD.
Aire du triangle ADC + aire du triangle ABC = �AD*DC +�AB*BC =0,5(16*63 +33*56)=0,5(1008+1848) =1428 cm².
Jean-Michel veut cl�turer son champ avec du grillage. Il se rend chez son commer�ant habituel et tombe sur l’annonce suivante : Grillage : 0,85 € par m�tre.
Combien va-t-il payer pour cl�turer son champ ?
168*0,85 =142,8 €.

Voici le parcours du cross du coll�ge La Bounty sch�matis� par la figure ci-dessous :

Montrer que la longueur NT est �gale � 194 m.
NT² = UT²+UN² =(155-25)² +(234-90)² =16900+20736 =37636 ; NT =194 m.
Le d�part et l’arriv�e de chaque course du cross se trouvent au point B.
Calculer la longueur d’un tour de parcours.
L =234 +194 +25 +90 +155 =698 m.
Les �l�ves de 3^e doivent effectuer 4 tours de parcours. Calculer la longueur totale de leur course.
4*698 =2792 m.
Terii, le vainqueur de la course des gar�ons de 3^�me a effectu� sa course en 10 minutes et 42 secondes.
Calculer sa vitesse moyenne et l’exprimer en m/s. Arrondir au centi�me pr�s.
10 min 42 s = 10*60+42 = 642 s.
v_moy = 2792 / 642 =4,35 m/s.
Si Terii maintenait sa vitesse moyenne, penses-tu qu’il pourrait battre le champion Georges Richmond qui a gagn� derni�rement la course sur 15 km des Foul�es du Front de mer en 55 minutes et 11 secondes ?
Il va parcouir 15 km = 15000 m pendant : 15000 / 4,35 =3449 s soit 57 min 29 s. La r�ponse est Non.

Teiki se prom�ne en montagne et aimerait conna�tre la hauteur d’un Pinus (ou Pin des Caraibes) situ� devant lui. Pour cela, il utilise un b�ton et prend quelques mesures au sol. Il proc�de de la fa�on suivante :
Il pique le b�ton en terre, verticalement, � 12 m�tres du Pinus. La partie visible (hors du sol) du b�ton mesure 2 m.
Teiki se place derri�re le b�ton, de fa�on � ce que son oeil, situ� � 1,60 m au dessus du sol, voie en alignement le sommet de l’arbre et l’extr�mit� du b�ton.
Teiki marque sa position au sol, puis mesure la distance entre sa position et le b�ton. Il trouve alors 1,2 m.
On peut repr�senter cette situation � l’aide du sch�ma ci-dessous :

Quelle est la hauteur H du Pinus au-dessus du sol ?
(H-1,6) / (2-1,6) =(12+1,2) / 1,2 = 11 ; H-1,6 = 11(2-1,6) =4,4 m ; H = 4,4 +1,6 = 6 m.

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