Mathématiques, concours Ecole de santé des armées ( ESA) 2014

Mathématiques, concours Ecole de santé des armées ( ESA) 2014

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Exercice 1.
QCM 1 :
Soit la fonction h définie pour out réel x par h(x) = e^−x −x +4. Soit C la courbe représentative de h. :
A. h'(x) =e^-x-1. Faux.
h'(x) = -e^-x-1=-(e-x+1), toujours négative ; h(x) est strictement décroissante.
B. h admet un maximum. Faux.
C. C admet une asymptote horizontale. Faux.
Au voisinage de +oo, le terme en exponentielle tend vers zéro ; h(x) tend vers -oo.
Au voisinage de -oo, le terme en exponentielle l'emporte sur -x+4 et h(x) tend vers +oo..
D. L'équation h(x) =5 a une solution unique dans l'ensemble des réels. Vrai.
h(x) strictement décroissante et h(x) décrit R.

QCM 2 :
Dans l’ensemble des nombres réels, l’inéquation −2xe^−x+1 > 0 a pour ensemble de solutions :
A. aucune.
Le terme en exponentielle est positif.
-2x est positif ou nul pour x appartenant à ]-oo ; 0].
B. { 0 }
C. ]-oo ; 0 ]. Vrai.
D. [0 ; +oo[.

QCM 3 :
On considère l'intégrale I suivante.
On pourra, pour calculer I , utiliser la dérivée de la fonction h définie sur [1 ; e] par h(t ) = t³[3ln(t )−1].
La valeur exacte de I est :
Calcul de h'(x) : on pose u = t³ et v = 3 ln(t)-1 ; u' = 3t² ; v' = 3 /t.
u'v+v'u =3t²(3ln(t)-1) +3t²=9t²ln(t).

QCM 4.Soit la fonction f définie pour tout réel x par f (x) = x cos x.
La dérivée f ′ de f est définie pour tout réel x par f ′(x) = :
A. -sin(x);
B. {cos(x).
C. cos(x) +x sin(x)
D. cos (x)-x sin(x). Vrai.
On pose u = x et v = cos (x) ; u'=1 ; v' = -sin(x) ; u'v+v'u = cos(x)-x sin(x).

QCM 5 :
Soit la fonction f définie pour tout réel x par f (x) = x cos x.
La primitive F de f telle que F(0) = 1 est définie pour tout réel x par F(x)= :
A. 0,5x² sin(x)+1.
On dérive : F'(x) = x(sin(x)+0,5x² cos(x) différent de f(x).
B. -0,5x² sin(x)+1.
On dérive : F'(x) = -x(sin(x)-0,5x² cos(x) différent de f(x).
C. cos(x) + x sin(x). Vrai.
F'(x) = -sin(x) +sin(x) +xcos(x) =f(x) ; F(0) = 1.
D. cos(x) - x sin(x).
F'(x) = -sin(x) -sin(x) -xcos(x) différent de f(x).

QCM 6 :
L'intégrale suivante est égale à :

QCM 7 :
On considère la fonction f dérivable sur ]0 ;+∞[ et définie par f (x) =( −x² −2ln(x)) / x :
La limite de f en +∞ est égale à :
A. 0
B. -oo. Vrai.
C. +oo
D. 1
f(x) = -x-ln(x) / x.
Au voisinage de +oo : -x tend vers -oo et ln(x) / x tend vers zéro.

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Exercice 2
QCM 8 :
Une solution de l'équation suivante est :

QCM 9 :
On considère la suite u définie par son premier terme u₀ = 1 et la relation de récurrence : u_n+1 = u_n/ 3+2
A : la suite u est géométrique.
B : la suite u est arithmétique.
C : la suite u est majorée par 3. Vrai.
D : la suite u est convergente vers 2.
u₁ = u₀ / 3 +2 = 7 /3 ; u₂ = u₁ / 3 +2 = 25 /9 ; u₃ = u₂ / 3 +2 = 79 / 27 ;
Proposition u_n < 3.
Raisonnement par récurence : Initialisation : u₀ = 1 est vrai.
Hérédité : on suppose un vrai ; u_n/ 3+2 <3 ; donc u_n+1 <3.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, donc u_n<3 quel que soit n.

QCM 10 :
On considère trois suites u, v, et w qui vérifient la propriété suivante :
Pour tout entier naturel n non nul : u_n < v_n < w_n.
Quand n tend vers plus l'infini, u_n tend vers 2 et w_n = u_n + 1/n, alors :
A : on ne peut pas dire que la suite (v_n) converge
B : la suite (v_n) n’a pas de limite.
C. Quand n tend vers plus l'infini, v_n > 2.
D. Quand n tend vers plus l'infini, v_n tend vers 2. Vrai ( d'après le théorème d'encadrement par des limites).

QCM 11 :
Un sac contient 4 boules noires et 3 boules rouges.On tire successivement et sans remise 2 boules du
sac. Sachant que la première boule tirée est noire, la probabilité de la seconde soit noire est :
A. 2/7
B. 4/7
C.1/2. Vrai.
D. 2/3.
Dans le sac, il reste 6 boules, trois noires et trois rouges : la probabilité de tirer une boule noire est égale à 3 / 6 = 1 / 2.

QCM 12 :
On lance un dé cubique bien équilibré et on lit le numéro inscrit sur la face supérieure de dé.
Soit les évènements :
I : « le numéro est inférieur ou égal à 3 ».
M : « le numéro est un multiple de 3 ».
A. P(I u M) = 5 /6
B. P(I n M) =0,5
C. I et M sont incompatibles.
D. I et M sont indépendants. Vrai.
P(I) ={1 ; 2 ; 3} =3/6 = 0,5 ; P(M) ={3 ; 6 }= 2 / 6 = 1 /3.
P(I n M) ={ 3}= 1 / 6 = P(I) x P(M) donc I et M sont indépendants.
P(I u M) ={1 ; 2 ; 3 ; 6 }=4 / 6 = 2 /3.

QCM 13 :
Une maladie frappe 2% de la population d’un pays. Pour dépister cette maladie, on utilise un test. On sait que :
- la probabilité que le test soit positif, sachant que l’individu est malade, est 0,9 ;
- la probabilité que le test soit négatif, sachant que l’individu n’est pas malade, est 0,9.
On note les évènements :
M+ : « l’individu est malade »
M− : « l’individu n’est pas malade »
T+ : « le test est positif »
T− : « le test est négatif »
A. P_M+(T+) = 0,1.
B. P(T+)=0,278
C. P(T+)=0,22
D. P_T+(M+)=0,16. Vrai.

QCM 14 :
X est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [2 ; 20].
La probabilité P_X>6(5 < X < 10) est égale à :
A. 5 / 18
B. 5 / 14
C. 2 / 7. Vrai.
D. 1 /4
P(X>6) =(20-6) / 20-2) = 14 / 18 = 7 / 9 ;
P(X>6) n P(5 < X < 10) = (10-6) / (20-2) = 4 / 18 = 2 / 9.
[ P(X>6) n P(5 < X < 10)] / P(X>6) = 2 / 7.

Exercice 3.
Un essai thérapeutique est réalisé chez des patients atteints d’une maladie associée à une très forte mortalité. Les
données de cet essai sont correctement ajustées par un modèle de survie exponentielle.
Soit X_A la variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre l_A = 0,22.
Soit X_B la variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre l_B = 0,11.
t représente le temps en années.
Avec un traitement A, la probabilité de survie à l’instant t est égale à S_A(t )= P(X_A > t ).
Avec un traitement B, la probabilité de survie à l’instant t est égale à S_B (t ) = P(X_B > t ).
Aide aux calculs e^−2,2 ≈ 0,111 et racine carrée (0,111) ≈ 0,333.
1. Calculer P (X_A < 10).
P (X_A < 10)=1-exp(-0,22 x10) = 1-exp(-2,2) ~1-0,111 = 0,889.
2. Démontrer que pour tout réel t positif, S_A(t ) = exp(−0,22t).
P(X_A > t ) +P(X_A < t ) = 1 ;
P(X_A < t ) =1-exp(-0,22 t) ;
P(X_A > t )1-(1-exp(-0,22 t)) = exp(-0,22t).
3. Donner le tableau de variation complet de la fonction S_A. Justifier.
S'_A(t) = -0,22 exp(-0,22t).
Le terme en exponentielle est positif ; S'_A(t) est négative sur [0 ; +oo[.
S_A(t ) est strictement décroissante sur [0 ; +oo[.
S_A(0 ) =1 ; quand t tend vers l'infini, S_A(t ) tend vers zéro.
4. Calculer la probabilité de survie à 10 ans dans le cas du traitement B.
S_B (t )=1-exp(-0,11 x10) = 1-exp(-1,1) ~1-0,111^½ =1-0,333 ~ 0,667.
5. Calculer la probabilité de survie à 5 ans dans le cas du traitement A.
S_A(5 )=exp(-0,22 x5) = exp(-1,1) =0,111^½ = 0,333.
6. Le rapport de survie des traitements A et B est-il constant au cours du temps ?
7. Pour t fixé, établir la relation entre la survie dans le cas du traitement A et la survie dans le cas du traitement B.
S_A(t ) /S_B(t ) =exp(-0,22t) / exp(-0,11 t) = exp(-(0,22 -0,11)t) = exp(-0,11t).
Ce rapport n'est pas constant au cours du temps.

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