Math�matiques, Fonction logaritme, exponentielle, Bac S 2016

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Pondich�ry. 
Soit f la fonction d�finie sur ]0 ; 14] par f (x) = 2−ln(x/2)
La courbe repr�sentative Cf de la fonction f est donn�e dans le rep�re orthogonal d’origine O ci-dessous :

� tout point M appartenant � Cf on associe le point P projet� orthogonal de M sur l’axe des abscisses, et le point Q projet� orthogonal de M sur l’axe des ordonn�es.
1. L’aire du rectangle OPMQ est-elle constante quelle que soit la position du point M sur Cf ?
Aire du rectangle Y = OP x MP = x(2-ln(x/2).
Cette aire n'est pas constante. Elle d�pend de la position du point M.
2. L’aire du rectangle OPMQ peut-elle �tre maximale ? Si oui, pr�ciser les coordonn�es du point M correspondant. Justifier les r�ponses.
D�river Y  : on pose u = x et v = 2 -ln(0,5 x) = 2 -ln0,5 - ln x
u' = 1 ; v' = -1/x.
Y' = u'v + v'u = 2-ln(0,5x) -1 = 1-ln(0,5x).
Y' s'annule pour ln(0,5 x) = 1 ; 0,5 x = e ; x = 2e.
Y' est positive pour x < 2e et n�gative pour x > 2e3.
Y est croissante pour x < 2e et d�croissantee pour x > 2e.
L'aire est maximale pour x =2e et vaut Ymax =2e(2-ln(e)) =2e.
Coordonn�es du point M : x = 2e ; y = 2-ln(e) = 1.

On souhaite st�riliser une bo�te de conserve.
Pour cela, on la prend � la temp�rature ambiante T0 = 25 �C et on la place dans un four � temp�rature constante TF = 100 �C. La st�rilisation d�bute d�s lors que la temp�rature de la bo�te est sup�rieure � 85 �C.
Partie A : Mod�lisation discr�te.
Pour n entier naturel, on note Tn la temp�rature en degr� Celsius de la bo�te au bout de n minutes. On a donc T0 = 25.
Pour n non nul, la valeur Tn est calcul�e puis affich�e par l’algorithme suivant :
Initialisation : T prend la valeur 25
Traitement : Demander la valeur de n
Pour i allant de 1 � n faire
T prend la valeur 0,85�T +15
Fin Pour
Sortie : Afficher T
1. D�terminer la temp�rature de la bo�te de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir � l’unit�.
T1 = 0,85  x 25+15 =36,25� ; T2 = 0,85 x 36,25 +15~45,8� ; T3 = 0,85 x45,8 +15 ~53,9�.
2. D�montrer que, pour tout entier naturel n, on a Tn = 100−75�0,85n.
T0 =100-75 = 25. Cette propri�t� est vraie pour n=0.
On suppose que cette propri�t� est vrai au rang p ( positif ou nul) : Tp = 100−75�0,85p.
Tp+1 = 0,85 Tp +15 = 0,85 x(100−75�0,85p) +15.
Tp+1 = 85-75�0,85p+1 +15 = 100-75�0,85p+1 ; cette propri�t� est vrai au rang p+1.
Cette propri�t� est vrai au rang z�ro et elle est h�r�ditaire pour tout p positif ou nul, elle est donc vraie pour tout n positif ou nul.
3. Au bout de combien deminutes la st�rilisation d�bute-elle ?
85 = 100−75�0,85n ; 75�0,85n  = 15 ; 0,85n  =0,2 ; n log0,85 = log 0,2 ; n = 9,9 ~ 10 minutes.
Partie B : Mod�lisation continue
Dans cette partie, t d�signe un r�el positif.
On suppose d�sormais qu’� l’instant t (exprim� en minutes), la temp�rature de la bo�te est donn�e par f (t ) (exprim�e en degr� Celsius) avec : f (t )= 100−75exp(−ln5/10 t ).
1. a. �tudier le sens de variation de f sur [0 ; +∞[.
D�river : f '(t) = -75 x(-ln5 /10) exp(−ln5/10 t ).
f '(t) = 7,5 ln 5 exp(−ln5/10 t ) positive quelque soit t.
f est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
b. Justifier que si t >10 alors f (t )>85.
f(10) = 100-75 exp(-ln5) = 100-75 exp (ln0,2)=100-75 x0,2 = 85.
De plus f est strictement croissante sur cet intervalle. Donc pour t >10, f est sup�rieure � 85 �.
2. Soit q un r�el sup�rieur ou �gal � 10.
On note A(q) le domaine d�limit� par les droites d’�quation t = 10, t = q, y = 85 et la courbe repr�sentative Cf de f . On consid�re que la st�rilisation est finie au bout d’un temps q, si l’aire, exprim�e en unit� d’aire du domaine A(q) est sup�rieure � 80.
a. Justifier, � l’aide du graphique donn�, que l’on a A(25) > 80.

A(25) est hachur�e en jaune. le petit rectangle hachur� en bleu correspond � 25 unit�s d'aire.
A(25) contient au moins 4 petits rectangles bleus, soit plus de 80 unit�s d'aire.
 b. Justifier que, pour θ sup�rieur ou �gal � 10 on a :

c. La st�rilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?

A(20) �tant inf�rieure � 80, la st�r�lisation n'est pas termin�e au bout de 20 minutes.
.
.




Liban.
On consid�re la fonction f d�finie sur l’intervalle [0 ; 1] par : f (x) =1 / [1+exp(1-x)].
Partie A.
1. �tudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1].
On pose u = 1-x ; u' = -1. On pose v = 1+exp(1-x) ; v' = -exp(1-x).
D�river : f '(x) = -v' / v2 = exp(1-x)/ [1-exp(1-x)]2.
Sur l'intervalle [0 ; 1], f '(x) est positive ; f(x) est strictement croissante sur cet intervalle.
2. D�montrer que pour tout r�el x de l’intervalle [0 ; 1], f (x) =ex/ (ex +e)
On multiplie num�rateur et d�nominateur par ex.
f(x) =ex/ [ ex+ex.e(1-x)]=ex/ [ ex+e(1-x+x)]=ex/ (ex +e).
3. Montrer alors que :

Partie B.
Soit n un entier naturel. On consid�re les fonctions fn d�finies sur [0 ; 1] par :
fn(x) = 1 / [1+n e1−x ].
On note Cn la courbe repr�sentative de la fonction fn dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�.
On consid�re la suite de terme g�n�ral
1. On a trac� les courbes repr�sentatives des fonctions fn pour n variant de 1 � 3. Compl�ter le graphique en tra�ant la courbe C0 repr�sentative de la fonction f0.

2. Soit n un entier naturel, interpr�ter graphiquement un et pr�ciser la valeur de u0.
Un repr�sente l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'�quation x=0 et x = 1 avec u0 = 1.
3. Quelle conjecture peut-on �mettre quant au sens de variation de la suite (un) ? D�montrer cette conjecture.
Les aires sont de plus en plus petites. La suite est d�croissante.

De plus l'int�gration sur un intervalle conserve l'ordre. La suite un est strictement d�croissante.
4. La suite (un) admet-elle une limite ?
Pour tout entier naturel de l'intervalle [0 ; 1 ] :
La suite est d�croissante et minor�e par z�ro, elle converge et admet une limite finie.










Am�rique du Nord.
Un particulier veut faire fabriquer un r�cup�rateur d’eau. Ce r�cup�rateur d’eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant
elle doit �tre situ�e � deux m�tres de sa maison ; la profondeur maximale doit �tre de deux m�tres ; elle doit mesurer cinq m�tres de long ;
elle doit �pouser la pente naturelle du terrain.
La partie incurv�e est mod�lis�e par la courbe Cf de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 2e] d�finie par :
f (x) = x ln( x/2)−x +2.
La courbe Cf est repr�sent�e ci-dessous dans un rep�re orthonorm� d’unit� 1 m et constitue une vue de profil de la cuve.
On consid�re les points A(2 ; 2), I(2 ; 0) et B(2e ; 2).

L’objectif de cette partie est d’�valuer le volume de la cuve.
1. Justifier que les points B et I appartiennent � la courbe Cf et que l’axe des abscisses est tangent � la courbe Cf au point I.
f(xB)=f(2e) = 2e ln (e)-2e+2=2= yB ; f(xI)=f(2) =2 ln (1)-2+2=0 = yI.
f '(x) = ln(x/2) +1 -1=ln(x/2) ; coefficient directeur de la tangente � Cf en I : f '(2) = 0.
La tangente � la courbe est horizontale en I.
2. On note T la tangente � la courbe Cf au point B, et D le point d’intersection de la droite T avec l’axe des abscisses.
a. D�terminer une �quation de la droiteT et en d�duire les coordonn�es de D.
Coefficient directeur de la droite T : f '(2e) = ln(e) = 1.
Equation de cette droite y = x+b avec b une constante.
T passe en B(2e ; 2) : 2 = 2e +b d'o� b = 2-2e.
Equation de T : y = x +2-2e.
Coordonn�e du point D ( 2e-2 ; 0).
b. On appelle S l’aire du domaine d�limit� par la courbeCf , les droites d’�quations y = 2, x = 2 et x = 2e.
S peut �tre encadr�e par l’aire du triangle ABI et celle du trap�ze AIDB. Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en d�duire ?
Aire du triangle AIB : AI . AB / 2 = 2 x (2e-2) / 2 = 2e-2.
Aire du trap�ze ABDI : (AB + ID) . AI / 2 = (2e-2 +2e-4) x 2 / 2 = 4e-6.
Le volume de la cuve est compris entre (2e-2) x5 = 10(e-1) m3 et (4e-6) x5 = 10(2e-3) m3.
3. a. Montrer que, sur l’intervalle [2 ; 2e], la fonction G d�finie par
G(x) =0,5 x2 ln (0,5x) -0,25 x2 
est une primitive de la fonction g d�finie par g (x) = x ln(0,5x).
D�river G(x) ; on pose u = 0,5 x2 et v = ln(0,5x) ; u' = x et v' = 1/x.
u'v +v'u = x ln(0,5x) +0,5x
G'(x) = x ln(0,5x) +0,5x-0,5 x = x ln(0,5x) = g(x).
b. En d�duire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 2e].
F(x) = G(x) -0,5 x2 +2x = 0,5 x2 ln (0,5x) -0,75 x2  +2x.
c. D�terminer la valeur exacte de l’aire S et en d�duire une valeur approch�e du volume V de la cuve au m3 pr�s.
Aire S =2(2e-2)-[ F(2e) -F(2)] =4e-4-[0,5 (2e)2ln(e)-0,75(2e)2 +4e-(2ln(1)-3+4)]= e2 -3.
V =5(e2-3)~22 m3.

Pour tout r�el x compris entre 2 et 2e, on note v(x) le volume d’eau, exprim� en m3, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur
d’eau dans la cuve est �gale � f (x). On admet que, pour tout r�el x de l’intervalle [2 ; 2e],
v(x) = 5[0,5x2ln(0,5x) -2xln(0,5x)-0,25x2+2x-3]
1. Quel volume d’eau, au m3 pr�s, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est de un m�tre ?
f(x) = 1 ; x ln( x/2)−x +2 = 1 ; x ln( x/2)−x +1 =0 ;
f(3) = 0,216 ; f(4) = 0,773 ; f(4,5)=1,15 ; f(4,4) =1,07 ; f(4,3)=0,99.
v(4,3)=5[0,5*4,32 ln(2,15)-8,6ln(2,15)-0,25*4,32+8,6-3]~7,4 ~7 m3.
On consid�re l’algorithme suivant :
Variables : a est un r�el
b est un r�el
Traitement : a prend la valeur 2
b prend la valeur 2 e
Tant que v(b) − v(a) > 10−3
faire :
c prend la valeur (a +b)/2
Si v(c) <V /2, alors :
a prend la valeur c
Sinon
b prend la valeur c
Fin Si
Fin Tant que
Sortie : Afficher f (c)
Interpr�ter le r�sultat que cet algorithme permet d’afficher.
Cet algorithme affiche la hauteur d'eau correspondant au rempissage �gal � la moiti� de la capacit� totale.


Antilles Guyanne.
Partie A.
On consid�re la fonction f d�finie pour tout r�el x par f (x) = x exp(1−x2)..
1. Calculer la limite de la fonction f en +oo.

On admettra que la limite de la fonction f en −∞est �gale � 0.
2. a. On admet que f est d�rivable sur R et on note f ′ sa d�riv�e.
D�montrer que pour tout r�el x, f ′(x) =(1-2x2) exp(1-x2).
On pose w = 1-x2 ; .u = x ; v = ew ; w' = -2x ; u' = 1 ; v' = -2x exp(1-x2).
D�riv�e d'un produit : u'v +v'u = exp(1-x2) -2x2 exp(1-x2) =(1-2x2) exp(1-x2).
b. En d�duire le tableau de variations de la fonction f .
exp(1-x2) est toujours positif. f '(x) a le signe de (1-2x2).
f '(x) s'annule pour x = �2-�. f '(x) est positive pour x appartenant � ]-2-� ; +2-� [.

Partie B.
On consid�re la fonction g d�finie pour tout r�el x par g (x) = e1−x .
Sur le graphique ci-dessous, on a trac� dans un rep�re les courbes repr�sentatives Cf et Cg respectivement des fonctions f et g.
Le but de cette partie est d’�tudier la position relative de ces deux courbes.

1. Apr�s observation du graphique, quelle conjecture peut-on �mettre ?
Il appara�t que Cg est toujours au dessus de Cf.
2. Justifier que, pour tout r�el x appartenant � ]−oo; 0], f (x) < g (x).
Quel que soit x n�gatif ou nul exp(1-x) est positif alors que (1-x2) exp(1-x2) est n�gatif. Donc f (x) < g (x) et Cg est au dessus de Cf.
3. Dans cette question, on se place dans l’intervalle ]0 ; +∞[.
On pose, pour tout r�el x strictement positif, F(x)= lnx −x2 +x.
a. Montrer que, pour tout r�el x strictement positif, f (x) inf�rieur ou �gal �  g (x) �quivaut � F(x) inf�rieur ou �gal � z�ro.

On admet pour la suite que f (x) = g (x) �quivaut � F(x) = 0.
b. On admet que la fonction F(x)est d�rivable sur ]0 ; +∞[. Dresser le tableau de variation de la fonction F(x). (Les limites en 0 et +∞ ne sont pas attendues.)
D�river : F'(x) = 1 /x -2x+1 = (-2x2+x+1) / x.
x �tant positif le signe de F'(x) est celui de (-2x2+x+1).
-2x2+x+1= 0 ; discriminant D = 1+8=9 ; racines : x1 = (-1-3) / (-4) = 1 et x2 = (-1+3) / (-4) = -0,5.
-2x2+x+1 est positif pour x appartenant � ]-0,5 ; 1[.

c. En d�duire que, pour tout r�el x strictement positif, F(x) est n�gatif ou nul.
Ce tableau de variation montre que F(x) poss�de un maximum nul pour x = 1. Donc, pour tout r�el x strictement positif, F(x) est n�gatif ou nul.
4. a. La conjecture �mise � la question 1. de la partie B est-elle valide ?
Pour tout r�el x strictement positif, f (x) inf�rieur ou �gal �  g (x) �quivaut � F(x) inf�rieur ou �gal � z�ro. La conjecture est valide.
b. Montrer que Cf et Cg ont un unique point commun, not� A.
Sur ]-oo ; 0[, Cf et Cg n'ont aucun point commun.
Sur[0 ; +oo [ , g(1) = f(1) ; Cf et Cg ont un seul point commun d'abscisse 1.
c. Montrer qu’en ce point A, ces deux courbes ont la m�me tangente.
f(1) = g(1) = 1.
  f ′(x) =(1-2x2) exp(1-x2) ; .f '(1) = -1 ; g' (x) =- e1−x  ; g'(1) = -1.
Au point A, les tangentes aux deux courbes passent par le m�me point et, de plus, elles poss�dent le m�me coefficient directeur. Ces tangentes sont donc confondues.
Partie C.
1. Trouver une primitive F de la fonction f sur R.
F(x) = -0,5 exp (1-x2).
2. En d�duire la valeur de :

3. Interpr�ter graphiquement ce r�sultat.
C'est l'aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites d'�quation x=0 et x=1.

Nlle Cal�donie.
On consid�re la fonction f d�finie et d�rivable sur l’intervalle [0 ; +oo[ par f (x) = xe−x−0,1.
1. D�terminer la limite de f en +oo.
Quand x tend vers l'infini ex /x tend vers l'infini, d'apr�s le cours ; son inverse x /ex tend vers z�ro.
Par suite f(x) tend vers -0,1.
2. �tudier les variations de f sur [0 ; +oo[ et dresser le tableau de variations.
D�river :on pose u =x et v = e-x ; u' =1 et v' = -e-x. f '(x) = u'v +v'u = e-x -x e-x = e-x (1-x).
La d�riv�e s'annule pour x = 1 ; e-x �tant toujours positif, la d�riv�e est du signe de (1-x), c'est � dire positive si x est compris entre 0 et 1 et n�gative si x est sup�rieur � 1.
f(x) est croissante sur [0 ; 1[, d�croissante sur ]1 ; +oo[ et pr�sente un maximum pour x= 1.

3. D�montrer que l’�quation f (x) = 0 admet une unique solution not�e a sur l’intervalle [0 ; 1].
f(0)=-0,1 est n�gatif ; f(1) =e-1-0,1 ~0,27 ; de plus la fonction est strictement croissante sur [0 ; 1]. L’�quation f (x) = 0 admet une unique solution surcet  l’intervalle.
On admet l’existence du nombre r�el strictement positif � tel que a< � et f (�)= 0.
On note C la courbe repr�sentative de la fonction f sur l’intervalle [a ; �] dans un rep�re orthogonal et C ′ la courbe sym�trique de C par rapport � l’axe des abscisses.
L’unit� sur chaque axe repr�sente 5 m�tres.
Ces courbes sont utilis�es pour d�limiter un massif floral en forme de flamme de bougie sur lequel seront plant�es des tulipes.

4. D�montrer que la fonction F, d�finie sur l’intervalle  [a ; �] par F(x) = −(x +1)e−x −0,1x est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [a ; �].
D�river : on pose u = x+1 et v = e-x ; u' = 1 et v' = -e-x ;  u'v+v'u =e-x-e-x(1+x) = xe-x.
F '(x) = xe-x-0,1 = f(x).
5. Calculer, en unit�s d’aire, une valeur arrondie � 0,01 pr�s de l’aire du domaine compris entre les courbes C et C ′.
On utilisera les valeurs arrondies � 0,001 pr�s suivantes : a≈ 0,112 et � ≈ 3,577.
Par raison de sym�trie, l'aire cherch�e vaut A=2 ( F(�) -F(a)).
F(3,577) ~-(1+3,577) e-3,577-0,3577 ~ -0,4857 ; F(0,112) ~-(1+0,112) e-0,112-0,0112 ~-1,005 ;
A = 2( -0,4857 +1,005)~1,04 unit�s d'aire ou 1,04 x25 ~26 m2.
6. Sachant que l’on peut disposer 36 plants de tulipes par m�tre carr�, calculer le nombre de plants de tulipes n�cessaire � la r�alisation de ce massif.
26 x36 = 936 tulipes.



  

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