Evolution au cours du temps de la temp�rature de surface des inlandsis, concours g�n�ral physique 2022.

Principe de la mesure de la temp�rature avec un thermistor.
On descend une sonde de temp�rature dans un trou de plusieurs centaines de m�tres de profondeur, for� dans la glace. Le thermistor est un dip�le assimilable � une r�sistance R₀ dont la valeur d�pend de sa temp�rature.
Le thermistor est plac� dans le montage suivant :

E est vosine de 1 V. Le voltm�rtre se comporte comme une r�sistance R_V.
47 . Exprimer la tension U en fonction de E, R, R_V et R₀.
R�sistance �quivalente � R₀ et R_V : R_�qui = R₀R_V / (R₀+R_V).
E = (R+R_�qui) I = RI +U ; I = (E-U) / R.
U = R_�qui I =R_�qui(E-U) / R.
U[1+R_�qui / R) = R_�qui E / R.
U[R+R_�qui ] / R = R_�qui E / R.
U[R+R_�qui ] = R_�qui E.
U = R_�qui E / [R+R_�qui ].
U =E / (R / R_�qui +1] =E / [R(R₀+R_V) / ( R₀R_V)+1]
.
48. En pratique R_V >> R₀. Montrer que R₀ = U R / (E-U).
Quel est l'int�r�t de se placer dans cette condition ?
Tracer l'allure de R₀ en fonction de U.
U ~E / [RR_V / ( R₀R_V)+1] = E / (R / R₀+1)= R₀E /(R+R₀).
UR + UR₀ = ER₀ ; R₀ = U R / (E-U).
L'introduction du voltm�tre de grande r�sistance ne modifie par l'intensit�.

49. Commenter la relation obtenue � la question 48 dans les cas R₀ >> R, puis R₀ << R, enfin R=R₀. Dans quel(s) cas a t-on int�r�t
� se placer exp�rimentalement ?
R₀ >> R : U est voisine de E.
R₀ << R : U est voisine de 0.
R proche de R₀ : U est vosine de 0,5 E. Dans ce dernier cas on dispose d'une plus grande marge de mesures.
50 Pourquoi a t-on int�r�t � choisir une valeur de E ni trop �lev�e, ni trop faible.
E faible : mesure impr�cise et trop petit nombre de mesure pour U.
U trop grand : effet Joule important dans les r�sistors.

On choisit E = 1,0512 V ( mesur�e au voltm�tre avec une pr�cision de 0,3 mV) et R = 46,90 kW ( pr�cision 40 W).
On mesure U = 0,7463 V ( pr�cision 0,3 mV).
51. Estimer la valeur de la temp�rature T � laquelle la mesure a �t� effectu�e.
R₀ = U R / (E-U) = 0,7463 x46,90 /(1,0512 -0,7463)=114,8 kW.

On cherche � estimer la valeur de l'incertitude-type u(T) dur la valeur de T.
On admet que si T = f(R₀), alors u(T) = |f '(R₀)| u(R₀) o� u(R₀) est l'incertitude -type sur la valeur de R₀.
On cherche � obtenir une estimation de u(R₀) connaissant les pr�cisions sur E, R et U.
52. Ecrire un script adapt� qui estime l'incertitude-type u(R₀).
Import numpy as np
import numpy.random as rd
# valeur centrale de l'intervalle
m=-30,4
#pr�cision
a = 0,2
# nombre de tirages
N=1000
# d�finition d'un tableau contenant N valeurs
# tir�es al�atoirement dans l'intervalle [m-a ; m+a]
tab = rd.uniform(m-a, m+a, N)
# affichage de l'incertitude
print ('u(m)=',np.stb(tab, ddof=1))
Le script affiche u(R₀) = 1,3 10² ohms.
R₀= (114,8 �0,13 kW.
53. En d�duire une estimation de u(T)
u(T) = 6,11 x0,13 ~0,8 �C.

Analyse des profils de temp�rature.
Un �chantillon parall�l�pip�dique de neige de dimensions a x b x c est travers� par un flux thermique F selon l'axe Oz.
On note T(c) respectivement T(0) ) la temp�rature de l'interface neige-air � l'altitude c ( respectivement z = 0).

54. Rappeler la relation entre la r�sistance thermique R_th, la puissance F et les temp�ratures T(0) et T(c), puis l'expression de R_th en fonction des param�tres de l'�chantillon et de la conductivit� thermique de la neige.
R_th = [T(c)-T(0) ] / F.
R_th = c / (l ab).
55. Expliquer pourquoi plus la conductivit� thermique d'un mat�riau est faible, plus il constitue un bon isolant thermique.
F = [T(c)-T(0) ] / R_th = [T(c)-T(0) ] ab l / c.
A [T(c)-T(0) ] ab / c constant, le flux thermique est d'autant plus faible que la conductivit� thermique du mat�riau est plus petite.
56. Proposer une explication au caract�re bon isolant thermique de la neige.
La neige est un m�lange d'air et d'eau sous forme solide (glace) sous forme gazeuse. C'est un bon isolant thermique car elle contient une grande quantit� d'air.
On effectue des mesures de temp�ratures dans un trou de forage juste apr�s per�age en 2008 puis les m�mes mesures reproduites dans le m�me forage en 2009. On constate que les diff�rences de temp�ratures sont tr�s faibles.
A cause de sa faible conductivit� thermique, la neige garde en m�moire la temp�rature qu'il faisait lorsqu'elle �tait � la surface. La temp�rature dans un trou de forage ne varie pas.
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