Aurélie 05/02
oscillateur mécanique : frottement solide

concours Kiné Nantes 2002


suite-->chimie ( arôme de pomme et sel de Mohr)

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On considère un système oscillant constitué d'un solide S de masse m= 200 g, fixé à l'extrémité d'un ressort de raideur k = 2,5 N/m. L'ensemble est astreint à se déplacer sur un axe Ox horizontal et le centre d'inertie G du solide S se situe à l'origine O de l'axe lorsque le système est au repos. On communique une énergie mécanique initiale E0=2 mJ au solide ; l'énergie potentielle de pesanteur étant choisie nulle dans le plan horizontal dans lequel se déplace M. Le système se met alors à osciller librement. On considérera que le ressort reste toujours à spires non jointives.

 Dans tout le problème on établira l'expression de la grandeur demandée avant d'effectuer l'application numérique.

1ère partie : oscillateur sans amortissement

A l'instant initial, le solide est placé en x= d= +2 cm et on lui communique dans cette position une vitesse v0 dans le sens de l'axe Ox.

  1. Etablir l'équation différentielle à laquelle satisfait l'élongation x de cet oscillateur à partir de l'équation de conservation de l'énergie. En déduire la valeur de la pulsation propre w0 et la période propre T0 de cet oscillateur.
  2. Déterminer la valeur de l'élongation maximale Xm et de la vitesse maximale Vm du solide lors de son mouvement oscillatoire. Déterminer la valeur de la vitesse initiale v0 communiquée au solide.
  3. Déterminer l'équation horaire x(t) de cet oscillateur.
  4. Sur un même graphique, tracer l'évolution de l'énergie cinétique, de l'énergie potentielle élastique et de l'énergie mécanique de S en fonction de son élongation x.

2ème partie : oscillateur soumis à un frottement solide.

On considère le même oscillateur soumis à une force de frottement f colinéaire au vecteur vitesse et de norme constante f = 7,5 mN. A l'instant initial, le solide est écarté de sa position d'équilibre jusqu en x=x0 positif et on l'abandonne sans vitesse initiale( son énergie initiale est E0= 2 mJ).

  1. Déterminer la valeur de l'élongation initiale x0.
  2. Etablir que l'équation différentielle du mouvement est x'' + w0 ² x = e f / m avec e = +1 ou -1. Dans quel cas e vaut-il 1 ? Dans quel cas e vaut-il -1 ?
  3. La solution de cette équation est de la forme x(t) = A cos ( w0 t + F) + e g avec A, F, g des constantes.
    - Déterminer la valeur de g.
    - Déterminer l'équation horaire x(t) pour la première demi-oscillation.
    - Déterminer la valeur de l'élongation et de la vitesse à T0/4 et à T0/2.
    - Lors de la deuxième demi-oscillation, pourquoi l'équation horaire établie dans la question précédente n'est-elle plus valable ? Sans établir la nouvelle expression de x(t), déterminer la valeur de l'élongation à la date T0 puis à la date 3T0/2. Quelle est la valeur de |x| à la date nT0/2 avec n entier positif ?
    - A la fin d'une demi-oscillation, qu'est-ce qui permet au solide de reprendre son mouvement dans l'autre sens ? En déduire la date à laquelle cesse le mouvement de S
    - Tracer la représentation graphique de x(t)
  4. Déterminer le pourcentage de l'énergie initiale dissipée au cours de la première oscillation.

 


corrigé
l'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle élastique.

2 10-3 = ½mv² + ½kx²

dériver par rapport au temps : remarque (u²)' = 2 u u'

0 = ½ m 2 v v' + ½ k 2 x x'

mv v' + k x x' = 0 avec v = x' et v' = x''

m x' x" + kx x' =0 soit mx" + kx = 0 soit x" + w0 ² x = 0 avec w0 ² = k/m.

w0 = racine carrée ( 2,5 / 0,2 ) = 3,54 rad/s ; T0 = 2p / w0 =6,28 / 3,54 = 1,776 s.


énergie potentielle élastique initiale : ½kx² = 0,5*2,5*0,02² = 0,5 mJ

énergie cinétique initiale 2-0,5 = 1,5 mJ

1,5 10-3 = ½mv0² d'où v0 = 0,122 m/s.

Lorsque x = Xm alors l'énergie mécanique est sous forme potentielle élastique :

2 10-3 = ½k Xm² d'où Xm = 0,04 m = 4 cm.

Lorsque x=0 l'énergie est entièrement sous forme cinétique :

2 10-3 = ½m Vm² d'où Vm = 0,141 m/s.


équation horaire : x(t) = Xm cos(w0t + f)

à t = 0 x = 0,02 d'où 0,02 = 0,04 cosf soit cosf = 0,5

deux solutions f = + 1,05 rad et f = - 1,05 rad

expression de la vitesse x' = v = - Xm w0 sin(w0t + f) = -0,1416sin ( w0t + f)

or à t=0, la valeurf = - 1,05 rad conduit à v0 = -0,1416 sin (-1,05) = 0,122 m/s ( accord avec la valeur trouvée)

or à t=0, la valeurf = 1,05 rad conduit à v0 = -0,1416 sin (1,05) = - 0,122 m/s ( désaccord avec la valeur trouvée)

x(t) = 0,04 cos(3,54 t -1,05 ).


L'énergie mécanique est constante égale à 2 mJ

énergie potentielle élastique : Ep = ½kx² = 1,25 *0,04² cos²(3,54 t -1,05 ).

Ep = 2 cos²(3,54 t -1,05 ) en mJ. (courbe rouge)

énergie cinétique : Ec = ½ mv² =0,1 * 0,141² sin² (3,54 t -1,05 ).

Ec = 2 sin²(3,54 t -1,05 ) en mJ.(courbe bleue)
temps : fraction de période
0
0,165 T0
0,416 T0
T0/2
énergie potentielle (mJ)
0,5
2
0
0,5
énergie cinétique (mJ)
1,5
0
2
1,5


à t=0 l'énergie mécanique est sous forme potentielle ½kx0² = 2 10-3

d'où x0 = racine carrée (4 10-3 / 2,5) = 0,04 m = 4 cm.

la force de frottement est toujours opposée au déplacement

1ère demi période ( déplacement de droite à gauche ) x"+ k / m x = f / m (1)

2ème demi période ( déplacement de gauche à droite ) x"+ k / m x = -f /m (2) avec w0² = k/m


solution générale de x"+ w0² x = 0 : x(t) =A cos (w0t+F)

solution particulière de (1) : x = f / k

solution générale de (1) : x(t) =A cos (w0t+F) + f / k

d'où g = f / k = 7,5 10-3 / 2,5 = 0,003 m.

vitesse : x'(t) = -Aw0 sin (w0t+F) ; v' (t=0) = -Aw0 sin (F) =0 d'où F =0 ou F =p.

F =0 donne x(t=0) = A cos (0) + 0,003 = x0 = 0,04 d'où A = 0,037 m.

F =p donne x(t=0) = A cos (p) + 0,003 = x0 = 0,04 d'où A = -0,037 m.

or A doit être positif, donc F =p n'est pas à retenir.

x(t) =0,037 cos (w0t) + 0,003 avec w0= 3,54 rad/s.

x( t = T0/2)= 0,037 cos p +0,003 = -0,034 m.

x( t = T0/4)= 0,037 cos (0,5p) +0,003 = 0,003 m.

vitesse : x'(t) =-0,037*3,54 sin(w0t ) = -0,13 sin(w0t ) =0,13 sin(w0t +p)

v(( t = T0/2) = 0,13 sin (2p) = 0

v(( t = T0/4) = 0,13 sin (0,5p+ p) = -0,13


2ème demi période ( déplacement de gauche à droite ) x"+ k / m x = -f /m (2) avec w0² = k/m

les conditions initiales sont différentes du cas précédent, donc les constantes d'intégration sont différentes.

solution générale de x"+ w0² x = 0 : x(t) = B cos (w0(t-T0/2)+F1)

solution particulière de (1) : x = -f / k

solution générale de (1) : x(t) =B cos (w0(t-T0/2)+F1) - f / k

d'où g = f / k = 7,5 10-3 / 2,5 = 0,003 m. et e = -1

vitesse : x'(t) = -Bw0 sin (w0(t-T0/2)+F1) ; v' (t=T0/2) = -Bw0 sin (F1) =0 d'où F1 =0 ou F1 =p.

F1 =0 donne x(t=T0/2) = B cos (0) - 0,003 = -0,034 d'où B = -0,031 m.

or B doit être positif, donc F1 =0 n'est pas à retenir.

F1 =p donne x(t=T0/2) = B cos (p) - 0,003 = -0,034 d'où B = 0,031 m.

x(t) =0,031 cos (w0t) - 0,003 avec w0= 3,54 rad/s.

x( t = T0)= 0,031 cos 0 -0,003 = 0,028 m.

à chaque demi période l'amplitude diminue de 0,006 m

à t = n T0/2, l'amplitude aura diminué de : 0,006 n

x (t = n T0/2) = 0,04- 0,006 n.

arrêt des oscillations à la date t = 0,04/ 0,006 = 6,66 T0/2 = 3,33 T0.

à la fin de chaque demi-période le ressort est comprimé ou allongé au maximum : celui ci emmagasine de l'énergie potentielle élastique qui lui permet de repartir dans l'autre sens.

à t = T0 : énergie mécanique = énergie potentielle élastique = 0,5 *2,5* 0,028² = 0,98 mJ

pertes : 2-0,98 = 1,02 mJ.(soit environ 51 %)


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